مسابقة دكتوراه 2023 — Université Hassiba Benbouali - Chlef

On considère $X$ une variable aléatoire continue, de densité :

$$f_X(x) = \frac{1}{2}(1 + \alpha x) \, \mathbf{1}_{]-1, 1[}(x)$$

où $\alpha \in ]-1, 1[$ est un paramètre inconnu. Soit $X_1, \ldots, X_n$ un échantillon pour cette variable aléatoire.

1. Trouver un estimateur $\overline{\alpha}_n$ de $\alpha$ par la méthode des moments. Déterminer la loi asymptotique de $\overline{\alpha}_n$.

2. Peut-on donner une expression explicite de l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\alpha$ ?

3. Calculer l'information de Fisher. Quelle est la loi limite de l'EMV $\widehat{\alpha}_n$ ?

Considérons le problème linéaire suivant :

$$\max \, z = x_1 \qquad \text{s.c.} \quad \begin{cases} -x_1 + x_2 \leq 2 \\ x_1 + x_2 \leq 8 \\ -x_1 + x_2 \geq -4 \\ x_1 \geq 0, \; x_2 \geq 0 \end{cases}$$

1. Mettre le programme linéaire sous forme standard.

2. Résoudre ce problème linéaire à l'aide de la méthode du simplexe.

3. Résoudre ce problème géométriquement et tracez également les étapes de la procédure simplexe graphiquement.

4. Supposons que la fonction objectif soit changée en $z = x_1 + \alpha x_2$, $\alpha \in \mathbb{R}$.

(a) Déterminer graphiquement les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la solution trouvée dans les questions (2.) et (3.) reste optimale.

(b) Déterminer graphiquement la valeur de $\alpha$ pour que ce problème ait une infinité de solutions optimales. Quelle est la valeur de $z^*$ dans ce cas ?

On travaille sur un espace de probabilité filtré $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}, \mathbb{P})$ où $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ est une filtration $\mathbb{P}$-complète et continue à droite. Soit $(B_t)_{t \geq 0}$ un $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$-mouvement brownien standard.

1. Montrer que le processus $(M_t)_{t \geq 0} = (B_t^2 - t)_{t \geq 0}$ est une $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$-martingale.

2. Soit $\tau_{a,b} = \inf\{t > 0 : B_t \notin ]a, b[\}$ avec $a < 0 < b$.

(a) Montrer que $\tau_{a,b}$ est un $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$-temps d'arrêt fini p.s.

(b) Montrer que $\mathbb{E}(B_{t \wedge \tau_{a,b}}) = 0$ puis en déduire que $\mathbb{E}(B_{\tau_{a,b}}) = 0$ et $\mathbb{P}(B_{\tau_{a,b}} = a) = \dfrac{b}{b - a} = 1 - \mathbb{P}(B_{\tau_{a,b}} = b)$.

(c) Montrer que $\mathbb{E}(M_{t \wedge \tau_{a,b}}) = 0$ et en déduire que $\mathbb{E}(\tau_{a,b}) = -ab$.

(d) Soit $X_t = \dfrac{1}{a} B_{a^2 t}$, $t \geq 0$; et $\sigma_{a,b} = \inf\{t > 0 : X_t \notin ]a, b[\}$, où $a < 0 < b$. Comparer entre $\mathbb{E}(\tau_{a,b})$ et $\mathbb{E}(\sigma_{a,b})$. Justifier !

3. Supposons maintenant que $(X_t)_{t \geq 0}$ est un processus càdlàg (continu à droite limité à gauche) adapté à la filtration $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$.

(a) Montrer que si pour tout $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$-temps d'arrêt borné $\tau$, $X_\tau \in L^1$ et $\mathbb{E}(X_\tau) = \mathbb{E}(X_0)$ alors $(X_t)_{t \geq 0}$ est une $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$-martingale.

(b) Pourquoi la filtration $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ est supposée complète et continue à droite ainsi que le processus $(X_t)_{t \geq 0}$ est supposé càdlàg ?

4. Soit $(M_t)_{t \geq 0}$ une $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$-martingale et $\tau$ un $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$-temps d'arrêt. Soit $(M_t^\tau)_{t \geq 0}$ le processus arrêté défini par :

$$M_t^\tau := M_{\tau \wedge t}, \quad t \geq 0 \; (\wedge \text{ désigne le minimum}).$$

(a) Pourquoi on peut supposer que le processus $(M_t^\tau)_{t \geq 0}$ est càdlàg ?

(b) En déduire de ce qui précède que $(M_t^\tau)_{t \geq 0}$ est une $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$-martingale.