مسابقة دكتوراه 2023 — Université Hadj Lakhdar - Batna 1

Soit

$$E = \{ f \in C^1([a,b], \mathbb{R}) : f' \in L^2([a,b], \mathbb{R}),\ f(a) = 0 \}$$

1. En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur $\int_a^t f'(t)\,dt$, montrer que pour tout $t \in [a,b]$, on a

$$(f(t))^2 \leq (t-a) \int_a^t |f'(s)|^2 \, ds$$

2. En déduire que

$$\int_a^b (f(t))^2 \, dt \leq \frac{(b-a)^2}{2} \int_a^b |f'(t)|^2 \, dt$$

Soit $C([0,1])$ l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs réelles, muni de la norme

$$\|f\|_\infty = \sup_{0 \leq x \leq 1} |f(x)|$$

Soit l'application

$$G : C([0,1]) \to C([0,1])$$

définie par

$$(Gf)(x) = e^x + \frac{1}{2} \int_0^{x^2} f(t)\,dt$$

a. Montrer que $G$ est une application contractante sur $C([0,1])$.

b. Utiliser (a) pour montrer qu'il existe une et une seule fonction dérivable sur $[0,1]$ telle que

$$\begin{cases} \dfrac{d}{dx} f(x) = e^x + x f(x^2) \\ f(0) = 1 \end{cases}$$

$X$ étant un espace vectoriel normé, $E$ un sous-ensemble non vide de $X$. On définit la distance d'un point $x \in X$ à $E$ par :

$$d(x, E) = \inf_{y \in E} \|x - y\|$$

a. Montrer que $d(x,E) = 0 \Leftrightarrow x \in \overline{E}$ et que pour $x, y \in X$, on ait

$$|d(x,E) - d(y,E)| \leq \|x - y\|$$

b. On suppose $E$ compact, $F \subset X$ fermé, et que $E \cap F = \emptyset$. Montrer qu'il existe $\delta > 0$ tel que

$$\forall x \in E,\ \forall y \in F, \quad \|x - y\| \geq \delta$$