مسابقة دكتوراه 2023 — Université Hadj Lakhdar - Batna 1

Soient $H$ un espace de Hilbert complexe, $T \in B(H)$ à image fermée. On dit que $T$ est $n$-EP, s'il existe un entier $n \in \mathbb{N}^*$, tel que

$$T^n T^+ = T^+ T^n$$

(1) Donner un exemple d'un opérateur 2-EP, autre que $0$ et $I$.

(2) On suppose que $T$ est $n$-EP et $S \in B(H)$. Montrer les propriétés suivantes :

(i) Pour tout scalaire $\lambda \in \mathbb{C}$, $\lambda T$ est $n$-EP.

(ii) $T^*$ est $n$-EP.

(iii) Si $S$ est unitairement équivalent à $T$, alors $S$ est $n$-EP.

(iv) $R(T^n) = R(T^{n+1})$ et $N(T^n) = N(T^{n+1})$.

Notation : Pour $T \in B(H)$, on note par $T^+ \in B(H)$ l'inverse de Moore-Penrose de $T$, vérifiant

$$T T^+ T = T, \quad T^+ T T^+ = T^+, \quad (T T^+)^* = T T^+, \quad (T^+ T)^* = T^+ T$$

suppose que $T$ est normal, montrer que $\omega(T) = \|T\|$.

Soient $H$ un espace de Hilbert complexe et $T \in B(H)$. On suppose que :

(i) Il existe $\{\varphi_1, \dots, \varphi_n\}$ un système orthonormé de $H$ ($n \in \mathbb{N}^*$) et $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C}^*$, tels que $T\varphi_i = \lambda_i \varphi_i$, pour $i = 1, \dots, n$,

(ii) $T$ s'annule sur $\{\varphi_1, \dots, \varphi_n\}^\perp$.

(1) Montrer que

$$Tx = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \langle x, \varphi_i \rangle \varphi_i, \quad \text{pour tout } x \in H$$

(2) Donner l'expression de $T^* x$ en fonction des $\lambda_i$ et $\varphi_i$, pour tout $x \in H$.

(3) Montrer que $T$ est normal de rang $n$.

Soit $H$ un espace de Hilbert complexe, et $T \in B(H)$. On définit l'ensemble

$$W(T) = \left\{ \frac{\langle Tx, y \rangle}{\|x\| \|y\|} : 0 < \|x\| \leq 1,\ 0 < \|y\| \leq 1 \right\}$$

(1) Montrer que $\sup W(T) = \|T\|$.

(2) On pose $\omega(T) = \sup \{ \langle Tx, x \rangle : \|x\| = 1 \}$. Pour tout $x, y \in H$ de norme $1$, montrer que

$$|\langle Tx, y \rangle + \langle Ty, x \rangle| \leq \omega(T)(\|x\|^2 + \|y\|^2)$$

(3) Déduire que $\dfrac{1}{2}\|T\| \leq \omega(T) \leq \|T\|$. On remarque que

$$\langle Tx, y \rangle + \langle Ty, x \rangle = \frac{1}{2}\big(\langle T(x+y), (x+y) \rangle - \langle T(x-y), (x-y) \rangle\big)$$

(4) Montrer que $\omega(T^2) \leq (\omega(T))^2$.

(5) Si on suppose que $T$ est normal, montrer que $\omega(T) = \|T\|$.