مسابقة دكتوراه 2023 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila

Soit le problème de Cauchy pour l'équation de la chaleur :

$\left\{\begin{array}{l} \partial_t u = k\partial_{xx} u, \quad x \in \mathbb{R}, \, t > 0, \, k > 0 \\ u(x, 0) = f(x), \quad x \in \mathbb{R}. \end{array}\right. \quad (I)$

On sait que pour $f(x)$ continue, bornée, la solution du problème $(I)$, s'écrit sous la forme (Intégrale de Poisson) :

$u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{\mathbb{R}} f(y) e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}} dy$

1. Montrer que si $0 < f(x) < M$, alors on a $0 < u(x, t) < M$, où $M$ est une constante positive.

2. Montrer que si $|f(x)| < Ae^{ax}$, alors $\forall (x, t)$ on a :

$|u(x, t)| < Ae^{ax}e^{a^2 t},$

où $A$ est une constante positive.

3. Calculer la solution pour $f(x) = e^{-x}$.

4. Que peut-on déduire de la question 3.?

Indication : $\int_{\mathbb{R}} e^{-u^2} du = \sqrt{\pi}$

Soient $\Omega$ un ouvert régulier connexe de $\mathbb{R}^n$ et $f \in L^2(\Omega)$. On considère le problème suivant :

$(P) : \left\{\begin{array}{l} -\Delta u = f \quad \text{sur } \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial n} = 0 \quad \text{sur } \partial\Omega, \end{array}\right.$

où $\partial\Omega$ est la frontière de $\Omega$ et $n$ est la normale unitaire extérieure à $\partial\Omega$.

1. Supposons qu'il existe $u \in H^1(\Omega)$ solution de $(P)$, montrer que $\int_{\Omega} f(x) dx = 0$.

2. Montrer que l'espace $V = \left\{v \in H^1(\Omega) : \int_{\Omega} v(x) dx = 0\right\}$ muni de la norme de $H^1(\Omega)$ est un espace de Hilbert.

3. Montrer qu'il existe une constante $C > 0$ telle que :

$\|v\|_{H^1(\Omega)} \leq C \|\nabla v\|_{L^2(\Omega)}, \quad \forall v \in H^1(\Omega).$

On considère l'équation différentielle suivante sur $\mathbb{R}$ :

$xy'' + y' + y = 0 \quad (1)$

Soit $f$ une solution de l'équation $(1)$, et soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$g(x) = x(f'(x))^2 + f^2(x).$

1. Montrer que $g$ est décroissante.

2. Montrer que $g$ possède une limite $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

3. En déduire que $f$ est bornée au voisinage de $+\infty$.

4. Montrer que $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0$.

5. Justifier la convergence des intégrales suivantes :

$\int_1^{+\infty} -(f'(x))^2 dx \quad \int_1^{+\infty} \frac{f'(x) \cdot f(x)}{x} dx \quad \int_1^{+\infty} \frac{f^2(x)}{x} dx$

6. Montrer que $\ell = 0$.

7. En déduire $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.