مسابقة دكتوراه 2023 — Université Larbi Ben M'Hidi - Oum El Bouaghi

Resoudre par la methode de separation des variables le probleme suivant :

\begin{cases} \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}, & 0<x<1,\ t>0,\ u(x,0)=0,\quad \dfrac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)+\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}x\right), & 0\leq x\leq1,\ u(0,t)=0,\quad \dfrac{\partial u}{\partial x}(1,t)=0, & t>0. \end{cases}

Soit E un ensemble infini, p un point fixe dans E et tau la famille des parties theta qui satisfont : p notin theta, ou p in theta et theta_E^c est fini.

1. Montrer que tau est une topologie sur E.

2. On prend dans cette question E=N et p=0.

   1. Decrire correctement les ouverts et les fermes de l'espace topologique (E,tau).
   2. Soient

A={0,1,2,3},\qquad B=\mathbb{N}\setminus{0,1}.

Calculer A_bar et B_bar.

Soit Lip_alpha l'espace des fonctions lipschitziennes defini par

\operatorname{Lip}\alpha={f:[0,1]\to\mathbb{C}:p\alpha(f)<\infty},

o u

p_\alpha(f)=\lvert f(0)\rvert+\sup\left{\frac{\lvert f(x)-f(y)\rvert}{\lvert x-y\rvert^\alpha}:(x,y)\in[0,1]^2,\ x\neq y\right},\qquad \alpha\in]0,1].

1. Montrer que Lip_alpha subset C([0,1]).

2. Montrer que p_alpha est une norme sur Lip_alpha verifiant

\forall f\in\operatorname{Lip}\alpha,\qquad \lVert f\rVert\infty\leq p_\alpha(f).

3. Montrer que Lip_alpha est complet pour la norme p_alpha.