مسابقة دكتوراه 2023 — Université Oran 1

Déterminer les fonctions réelles $f$ dérivables en 0 telles que :

$f(x + y) = e^x f(y) + e^y f(x), \quad \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2$

Indication : Calculer $f(0)$, puis utiliser la définition de la dérivabilité.

Soit $\mathbb{F}_p$ le corps premier à $p$ éléments, $\alpha$ une racine septième de l'unité et $K = \mathbb{F}_p(\alpha)$.

1. Expliquer pourquoi $K$ est un corps fini.

2. Supposons que $p = 3$. Déterminer le cardinal du corps $K$.

3. Supposons que $p \neq 3$. Soit $f(x) = x^p - x + 3$, si $\beta$ est une racine de $f$ dans une extension de $\mathbb{F}_p$, montrer que $f$ admet $p$ racines distinctes dans le corps d'extension $\mathbb{F}_p(\beta)$.

Soit $\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}$ la base naturelle de l'espace $l_2(\mathbb{R})$ :

$l_2(\mathbb{R}) = \left\{(x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots) \;/\; \sum_{i=1}^{\infty} |x_i|^2 < +\infty\right\}.$

On définit la suite d'opérateurs $A_n$ par :

$A_n e_k = \left\{\begin{array}{ll} e_1 & ; k = n \\ 0 & ; k \neq n \end{array}\right.$

1. Montrer que $\|A_n\| = 1$.

2. Montrer que $(A_n)$ converge faiblement vers 0.