مسابقة دكتوراه 2023 — Université Oran 1

Soit l'anneau usuel $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \cdot)$ où $n \in \mathbb{N}$.

(1) Rappeler pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$, l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \cdot)$ est-il intègre?

(2) (a) Résoudre l'équation $\overline{x}^2 - \overline{4}x + \overline{3} = \overline{0}$ dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.

(b) Résoudre l'équation $\overline{x}^2 - \overline{4}x + \overline{3} = \overline{0}$ dans $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$.

(c) Expliquer pourquoi dans le cas a), l'équation donnée a deux solutions, alors que dans le cas b), elle en admet plus que deux.

Soit $U = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ et soit $f$ une application de $U$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par :

$f(x, y) = (x^2 - y^2, 2xy)$

(1) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $U$ et que sa différentielle est inversible en tout point de $U$.

(2) $f$ est-elle un difféomorphisme de $U$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$?

Soit

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(1) La matrice $A$ est-elle diagonalisable?

(2) La matrice $A$ est-elle trigonalisable?

(3) Trigonaliser la matrice $A$ en écrivant $A = PTP^{-1}$ où $T$ est une matrice triangulaire et $P$ est la matrice de passage.