مسابقة دكتوراه 2023 — Université du Relizane

Soit le problème de Cauchy suivant :

$\left\{\begin{array}{l} y'''(x) - y'(x) = 0 \\ y(0) = 1 \\ y'(0) = 0 \\ y''(0) = 2 \end{array}\right.$

Résoudre ce problème d'au moins deux manières différentes.

On s'intéresse au système différentiel

$\left\{\begin{array}{l} x' = x + \sin(3x - y), \\ y' = e^x - 1. \end{array}\right.$

1. Justifier que pour toute condition initiale $(x(0), y(0)) = (x_0, y_0)$, le problème admet une unique solution maximale notée $(\psi_1, \psi_2)$ avec $\psi = (\psi_1, \psi_2)$.

2. Montrer que pour tout $t \in [0, T^*[$ :

$|\psi_1(t) - \psi_1(0)| \leq \int_0^t (|\psi_1(s)| + 1) ds,$

puis que pour tout $t \in [0, T^*[$ :

$|\psi_1(t)| + 1 \leq |x_0| + 1 + \int_0^t (|\psi_1(s)| + 1) ds.$

3. En déduire que pour tout $t \in [0, T^*[$ :

$|\psi_1(t)| \leq (|x_0| + 1) e^t.$

4. On suppose par l'absurde que $T^* < +\infty$ : montrer que $\psi_1$ et $\psi_2$ sont alors bornées sur $[0, T^*[$. Conclure.

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue bornée. On considère l'équation différentielle scalaire du second ordre

$\frac{d^2 x}{dt^2} - x = f(t). \quad (I)$

1. Montrer que cette équation admet au plus une solution bornée sur $\mathbb{R}$.

2. Écrire l'équation sous forme d'un système $U' = AU + F(t)$ où $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ une fonction continue bornée.