مسابقة دكتوراه 2023 — Université M'Hamed Bougara - Boumerdès

Soient $X = \{0, 1\}$ et $T = \{\varnothing, \{1\}, X\}$.

1. Montrer que $T$ est une topologie sur $X$.

Pour cette topologie :

2. Quelles sont les suites dans $X$ qui convergent vers 0?

3. Quelles sont celles qui convergent vers 1?

4. Dans un espace topologique arbitraire, quelles sont les parties dont la fonction indicatrice, à valeurs dans $X$, est continue?

1. Soit $k$ réel positif, pour $n$ entier non nul on pose

$w_n = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 ; \left(x - \frac{1}{n}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{n}\right)^2 \leq \left(\frac{k}{n}\right)^2\right\}$

et

$\Omega = \bigcup_{n \in \mathbb{N}^*} w_n$

Dans un plan euclidien on peut représenter $w_n$ par le disque fermé de centre $\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$ de rayon $\frac{k}{n}$. Trouver la condition nécessaire et suffisante pour que $\Omega$ soit fermé.

2. On rappelle que $\mathbb{Z} + 2\pi\mathbb{Z}$ est dense dans $[-1, 1]$.

On considère $U_n = \cos n$. Vérifier que l'ensemble de ses valeurs d'adhérence est $[-1, 1]$ (commencer par vérifier que $(\cos n / n \in \mathbb{N})$ est dense dans $[-1, 1]$).

Soit $E$ l'espace $C([0, 1], \mathbb{R})$ muni de la norme de la convergence uniforme et soit l'application de $E$ dans lui-même définie par :

$Tx(t) = \int_0^t x(u) du.$

1. Montrer que $T$ est une application linéaire continue de $E$ dans $E$.

2. Calculer $\|T\|$.

3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, l'opérateur $T^n$ est donné par :

$T^n x(t) = \frac{1}{(n-1)!} \int_0^t (t-u)^{n-1} x(u) du.$

4. Montrer que la suite $(T^n)$ converge vers 0.

5. En déduire que $\sigma(T) = \{0\}$.