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مسابقة دكتوراه 2012 — Université 8 Mai 1945 - Guelma — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Numérique & Optimisation

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Concours d'accès au doctorat 2012/2013, Université de Guelma, Épreuve d'Analyse Numérique et EDP.

التمرين 2

Exercice 2 — Méthode des éléments finis et formule de Green

#finite-element-method#variational-formulation#greens-formula#poisson-equation

Soit le problème aux limites

−u′′(x)=f(x) sur ]0,1[,u(0)=u(1)=0.-u''(x)=f(x)\ \text{sur}\ ]0,1[,\qquad u(0)=u(1)=0.

  1. Écrire la formulation variationnelle (faible) du problème à l'aide de la formule de Green.
  2. Montrer l'existence et l'unicité de la solution faible (Lax-Milgram).
  3. Décrire l'approximation par éléments finis P1P_1 sur un maillage uniforme.
◀الحل
  1. Trouver u∈H01(0,1)u\in H_0^1(0,1) tel que ∫01u′v′ dx=∫01fv dx\int_0^1 u'v'\,dx=\int_0^1 fv\,dx, ∀v∈H01\forall v\in H_0^1. 2. La forme a(u,v)=∫u′v′a(u,v)=\int u'v' est continue et coercive (∥v∥H01\|v\|_{H_0^1}), Lax-Milgram donne existence et unicité. 3. P1P_1 : fonctions chapeaux, matrice de rigidité tridiagonale 1h(2,−1,−1)\tfrac1h(2,-1,-1), système linéaire AhU=FhA_hU=F_h.

التمرين 3

Exercice 3 — Schémas pour l'équation de la chaleur

#finite-difference#heat-equation#stability-analysis#dufort-frankel

Pour l'équation de la chaleur ut=uxxu_t=u_{xx} on considère les schémas de Richardson et de DuFort-Frankel. Étudier leur consistance et leur stabilité (analyse de von Neumann).

◀الحل

Richardson (centré en temps et espace) est inconditionnellement instable. DuFort-Frankel est explicite, consistant si Δt/Δx→0\Delta t/\Delta x\to0, et inconditionnellement stable\boxed{\text{inconditionnellement stable}} (facteur d'amplification de module ≤1\le1).

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