مسابقة دكتوراه 2012 — Centre Universitaire Abdelhafid Boussouf - Mila — الموضوع 01

Si $E$ est de dimension finie, toute partie bornée de $E$ est relativement compacte. En particulier, l'image par l'identité de la boule unité fermée est compacte, donc $\boxed{I\text{ est compact si }\dim E<\infty.}$

Si $E$ est de dimension infinie, la boule unité fermée n'est jamais compacte (théorème de Riesz). Comme l'identité envoie la boule unité sur elle-même, son image n'est pas relativement compacte. Donc $\boxed{I\text{ n'est pas compact si }\dim E=\infty.}$ Ainsi, l'identité est compacte si et seulement si l'espace est de dimension finie.

On écrit $y''(x)= -xy'(x)-x^2y(x).$ En intégrant une première fois entre $0$ et $x$ : $y'(x)=y'(0)+\int_0^x y''(t)dt=1-\int_0^x\big(ty'(t)+t^2y(t)\big)dt.$ En intégrant encore entre $0$ et $x$, $y(x)=y(0)+\int_0^x y'(s)ds=1+x-\int_0^x\int_0^s\big(ty'(t)+t^2y(t)\big)dtds.$ En échangeant l'ordre d'intégration, $\int_0^x\int_0^s F(t)dtds=\int_0^x(x-t)F(t)dt,$ d'où l'équation intégrale équivalente $\boxed{y(x)=1+x-\int_0^x (x-t)\big(ty'(t)+t^2y(t)\big)dt.}$ On peut aussi éliminer $y'$ après intégration par parties pour obtenir une équation intégrale ne portant que sur $y$.

La première formule s'obtient par récurrence sur $n$. Pour $n=1$, elle est immédiate. En supposant le résultat vrai pour $n$, on écrit l'intégrale d'ordre $n+1$ et on échange les intégrations pour retrouver le noyau $(x-t)^n/n!$.

Pour le problème aux limites, on intègre deux fois l'équation $y''=f(x,y(x))$ : $y(x)=\alpha+c(x-a)+\int_a^x(x-t)f(t,y(t))dt.$ La constante $c$ est déterminée par la condition $y(b)=\beta$, ce qui donne $c=\frac{\beta-\alpha}{b-a}-\frac1{b-a}\int_a^b(b-t)f(t,y(t))dt.$ En remplaçant $c$ dans l'expression de $y(x)$ et en réorganisant les termes, on obtient exactement la représentation par la fonction de Green indiquée. Ainsi toute solution classique satisfait l'équation intégrale annoncée.