مسابقة دكتوراه 2012 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 01

0. $f_n$ est une densité

Positivité. $K$ étant positive, chaque terme $K\big(\tfrac{X_i-x}{h}\big)\geq 0$, donc $f_n(x)\geq 0$ pour tout $x$.

Intégrale égale à 1. Pour chaque $i$, le changement de variable $u=\dfrac{X_i-x}{h}$ ($du=-\tfrac{1}{h}dx$) donne

$\int_{\mathbb{R}}K\!\left(\frac{X_i-x}{h}\right)dx=h\int_{\mathbb{R}}K(u)\,du=h.$

D'où

$\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\,dx=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^n\int_{\mathbb{R}}K\!\left(\frac{X_i-x}{h}\right)dx=\frac{1}{nh}\cdot n\cdot h=1.$

Continuité. Si $K$ est continue, alors pour chaque $i$ l'application $x\mapsto K\big(\tfrac{X_i-x}{h}\big)$ est continue (composée d'une fonction affine et de $K$) ; $f_n$, somme finie de fonctions continues, est continue.

$\boxed{f_n\ \text{est une densité de probabilité, continue dès que }K\ \text{l'est.}}$

(i) Biais

Par définition $\mathrm{Biais}(f_n(x))=E(f_n(x))-f(x)$. Les $X_i$ étant i.i.d. de densité $f$,

$E(f_n(x))=\frac{1}{h}E\!\left[K\!\left(\frac{X-x}{h}\right)\right]=\frac{1}{h}\int_{\mathbb{R}}K\!\left(\frac{t-x}{h}\right)f(t)\,dt.$

Avec le changement $u=\dfrac{t-x}{h}$, i.e. $t=x+hu$, $dt=h\,du$ :

$E(f_n(x))=\int_{\mathbb{R}}K(u)\,f(x+hu)\,du.$

Comme $f''$ est bornée, la formule de Taylor à l'ordre 2 avec reste de Lagrange donne, pour un $\xi_u$ entre $x$ et $x+hu$,

$f(x+hu)=f(x)+hu\,f'(x)+\frac{h^2u^2}{2}f''(\xi_u).$

En intégrant contre $K$ et en utilisant les conditions 1 ($\int K=1$) et 2 ($\int uK=0$) :

$E(f_n(x))=f(x)\underbrace{\int K(u)du}_{=1}+h f'(x)\underbrace{\int uK(u)du}_{=0}+\frac{h^2}{2}\int u^2 f''(\xi_u)K(u)\,du.$

Donc

$\mathrm{Biais}(f_n(x))=\frac{h^2}{2}\int_{\mathbb{R}} u^2 f''(\xi_u)K(u)\,du,$

et en majorant $|f''(\xi_u)|\leq \sup_z|f''(z)|$ (condition 3 assurant la finitude) :

$\big|\mathrm{Biais}(f_n(x))\big|\leq \frac{h^2}{2}\sup_{z}|f''(z)|\int_{\mathbb{R}}u^2|K(u)|\,du=C_1 h^2.$

$\boxed{\big|\mathrm{Biais}(f_n(x))\big|\leq C_1 h^2,\qquad C_1=\tfrac12\sup_{z}|f''(z)|\!\int u^2|K(u)|du.}$

(ii) Variance

Les $K\big(\tfrac{X_i-x}{h}\big)$ étant i.i.d.,

$\mathrm{Var}(f_n(x))=\frac{1}{n^2h^2}\sum_{i=1}^n \mathrm{Var}\!\left[K\!\left(\frac{X_i-x}{h}\right)\right]=\frac{1}{nh^2}\mathrm{Var}\!\left[K\!\left(\frac{X-x}{h}\right)\right].$

Comme $\mathrm{Var}(W)\leq E(W^2)$,

$\mathrm{Var}\!\left[K\!\left(\frac{X-x}{h}\right)\right]\leq E\!\left[K\!\left(\frac{X-x}{h}\right)^2\right]=\int_{\mathbb{R}}K\!\left(\frac{t-x}{h}\right)^2 f(t)\,dt.$

Avec $u=\dfrac{t-x}{h}$ ($t=x+hu$, $dt=h\,du$) :

$\int_{\mathbb{R}}K\!\left(\frac{t-x}{h}\right)^2 f(t)\,dt=h\int_{\mathbb{R}}K(u)^2 f(x+hu)\,du\leq h\,\sup_{z}f(z)\int_{\mathbb{R}}K(u)^2\,du,$

la condition 4 garantissant la finitude de $\int K^2$. En reportant,

$\mathrm{Var}(f_n(x))\leq \frac{1}{nh^2}\cdot h\,\sup_{z}f(z)\int K(u)^2 du=\frac{1}{nh}\sup_{z}f(z)\int K(u)^2 du.$

$\boxed{\mathrm{Var}(f_n(x))\leq\frac{C_2}{nh},\qquad C_2=\sup_{z}f(z)\int K(u)^2 du.}$