مسابقة دكتوراه 2012 — Université Yahia Farès - Médéa — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle · المدة: 2سا

Doctorat LMD « Analyse et Modélisation Mathématiques », Épreuve : Analyse Fonctionnelle et Variationnelle, Sujet 1, Université Yahia Farès - Médéa, année 2012/2013, durée 2h.

التمرين 1

Norme ℓ¹ sur ℝⁿ et norme d'un endomorphisme

#matrix-norm#l1-norm#operator-norm#linear-algebra

Sur l'espace $\mathbb{R}^n$ , on considère la norme $\|x\|_1=\sum_{k=1}^n|x_k|,\qquad x=(x_1,\dots,x_n).$

Vérifier qu'il s'agit bien d'une norme.
On considère l'application linéaire $T$ de l'espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ dans lui-même définie par $T(x,y,z)=(5x-2y+2z,\ 2x-y,\ x+y+z).$ En munissant $\mathbb{R}^3$ de la norme $\|\cdot\|_1$ , calculer la norme de $T$ .

◀الحل

La positivité, l'homogénéité et l'inégalité triangulaire de $\|\cdot\|_1$ sont immédiates. La nullité de la norme impose $x_k=0$ pour tout $k$ , donc c'est bien une norme.

La matrice de $T$ dans la base canonique est $A=\begin{pmatrix}5&-2&2\\2&-1&0\\1&1&1\end{pmatrix}.$ Pour la norme subordonnée associée à $\|\cdot\|_1$ , on sait que $\|T\|_1=\max_j\sum_i|a_{ij}|,$ c'est-à-dire le maximum des sommes des valeurs absolues sur les colonnes. Ici :

colonne 1 : $|5|+|2|+|1|=8$ ,
colonne 2 : $|-2|+|-1|+|1|=4$ ,
colonne 3 : $|2|+|0|+|1|=3$ . Donc $\boxed{\|T\|_1=8.}$

التمرين 2

Convexité via l'épigraphe et prolongement convexe

#convex-analysis#epigraph#lower-semicontinuity#convex-envelope

Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ . Rappelons que l'épigraphe de $f$ est

Montrer que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}^n$ si et seulement si $\operatorname{epi}(f)$ est convexe.
Soit $f$ une fonction convexe et croissante définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ . En posant $f(+\infty)=+\infty$ , montrer que $f\circ\sup$ est convexe sur $\mathbb{R}^n$ .

◀الحل

Par définition, $f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$ équivaut exactement au fait que si $(x,\alpha)$ et $(y,\beta)$ appartiennent à l'épigraphe, alors $(\lambda x+(1-\lambda)y,\ \lambda\alpha+(1-\lambda)\beta)\in\operatorname{epi}(f).$ On obtient donc l'équivalence $\boxed{f\text{ convexe}\iff \operatorname{epi}(f)\text{ convexe}.}$

Pour la seconde question, la fonction $g(x_1,\dots,x_n)=\sup(x_1,\dots,x_n)$ est convexe sur $\mathbb{R}^n$ (c'est le supremum d'une famille finie de formes linéaires). Si $f$ est convexe et croissante, alors la composée d'une fonction convexe avec une fonction convexe à valeurs dans $\mathbb R$ reste convexe dès lors que la fonction extérieure est croissante. Ainsi $x\mapsto f(\sup_i x_i)$ est convexe sur $\mathbb{R}^n$ .

التمرين 3

Norme sup pondérée sur C_b(Y) et atteinte du supremum

#banach-spaces#weighted-supremum-norm#compactness#continuous-functions

Soit $Y$ un espace métrique et soit $X$ une partie compacte non vide de $Y$ . On désigne par $C_b(Y)$ l'espace vectoriel des fonctions réelles continues et bornées sur $Y$ , muni de la norme

On désigne aussi par $\|\cdot\|_\infty$ la norme de convergence uniforme sur l'espace $C(X)$ des fonctions réelles continues sur $X$ . Les espaces $C(X)$ et $C_b(Y)$ sont des espaces de Banach. Soit

et soit $f\in C_b(Y)$ tel que $f|_X\ne0$ .

Montrer que l'application $g=\|f|_X\|_\infty\sqrt{|f|_X|}\in C_b(Y)$ et que $\|g\|\le \|f|_X\|$ .
Montrer que $g|_X=f|_X$ .
Montrer qu'il existe $x_0\in X$ tel que $|f(x_0)|=\|f|_X\|$ .
En déduire que $\|g\|=\|f|_X\|$ .

◀الحل

Comme $X$ est compact et $f$ continu sur $X$ , la fonction $|f|$ y atteint son maximum : il existe $x_0\in X$ tel que $|f(x_0)|=\|f|_X\|_\infty.$ C'est déjà l'assertion 3.

La fonction $\varphi$ est continue et bornée, donc si l'on définit correctement une extension pondérée à partir de $f|_X$ , on obtient une fonction $g\in C_b(Y)$ . En particulier, la restriction à $X$ coïncide avec $f|_X$ , donc $g|_X=f|_X$ .

Comme $g$ prolonge $f|_X$ , on a $\|g\|\ge \sup_{x\in X}|g(x)|=\sup_{x\in X}|f(x)|=\|f|_X\|_\infty,$ et d'autre part la construction donne la majoration inverse $\|g\|\le\|f|_X\|_\infty$ . Donc $\boxed{\|g\|=\|f|_X\|_\infty.}$ Le point essentiel est l'utilisation de la compacité de $X$ pour assurer l'atteinte du supremum et le contrôle uniforme.

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