مسابقة دكتوراه 2012 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques

Concours d'accès au doctorat, Université de Béjaïa, Épreuve de Probabilités et Statistique, 18 novembre 2012.

التمرين 1

Exercice 1 — Loi de Poisson et estimation

#poisson-distribution#maximum-likelihood#parameter-estimation

Le nombre de pannes hebdomadaires d'une machine suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ . Sur $n=30$ semaines on a observé les nombres de pannes suivants (moyenne empirique $\bar{x}=2/3$ ).

Donner l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\lambda$ .
Calculer son estimation à partir des données.
Cet estimateur est-il sans biais et convergent ?

◀الحل

$\hat\lambda=\bar{X}$ (maximum de vraisemblance). 2. $\boxed{\hat\lambda=\bar{x}=2/3}$ . 3. $E(\bar X)=\lambda$ (sans biais) et $\mathrm{Var}(\bar X)=\lambda/n\to0$ : convergent.

التمرين 2

Exercice 2 — Intervalles de confiance

#confidence-interval#normal-distribution#statistics

Sur un échantillon de tailles de pièces (en milliers), on observe une moyenne $\bar{x}=99{,}8$ et un écart-type.

Construire un intervalle de confiance à $95\%$ pour la moyenne $\mu$ .
En déduire un intervalle de confiance pour le total, et dire si la valeur théorique $3620$ est acceptable.

◀الحل

$IC_{95\%}(\mu)=\bar{x}\pm1{,}96\,\dfrac{s}{\sqrt n}\approx[31{,}95\,;\,167{,}65]$ (milliers). 2. Pour le total : $[1597{,}5\,;\,8382{,}5]$ ; comme $3620$ y appartient, $\boxed{\text{la valeur } 3620 \text{ est acceptable}}$ .

التمرين 3

Exercice 3 — Test d'hypothèse

#hypothesis-testing#chi-square#goodness-of-fit

On veut tester l'adéquation des données observées à une loi théorique. Poser les hypothèses, choisir la statistique de test et conclure au seuil $5\%$ .

◀الحل

Test du $\chi^2$ d'adéquation : $H_0$ = les données suivent la loi théorique. Statistique $\chi^2=\sum\dfrac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$ comparée au quantile $\chi^2_{1-\alpha}$ ; on rejette $H_0$ si $\chi^2_{obs}$ dépasse le seuil.

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