مسابقة دكتوراه 2012 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 01

مسابقة عامة · الرياضيات

⬇️ تحميل ☆ حفظ ✓ تم الحل

Concours d'accès au doctorat, Université de Béjaïa, Épreuve d'Analyse, 18 novembre 2012.

التمرين 1

Exercice 1 — Suites et convergence

#sequences#convergence#fixed-point

Soit la suite définie par $u_0\gt0$ et $u_{n+1}=\dfrac12\left(u_n+\dfrac{a}{u_n}\right)$ , $a\gt0$ .

Montrer que $(u_n)$ est bien définie et minorée par $\sqrt a$ à partir du rang 1.
Montrer qu'elle est décroissante à partir du rang 1 et déterminer sa limite.

◀الحل

AM-GM : $u_{n+1}\ge\sqrt a$ . 2. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{a-u_n^2}{2u_n}\le0$ pour $n\ge1$ ; décroissante minorée donc convergente vers $\ell$ vérifiant $\ell=\tfrac12(\ell+a/\ell)$ : $\boxed{\lim u_n=\sqrt a}$ .

التمرين 2

Exercice 2 — Intégrale et série

#integrals#series#comparison

Étudier la nature de l'intégrale $\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{x^{\alpha}}$ et de la série $\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac1{n^{\alpha}}$ selon $\alpha\gt0$ , et préciser le lien.

◀الحل

Comparaison série-intégrale : $\boxed{\text{convergence si et seulement si }\alpha\gt1}$ pour l'intégrale comme pour la série (fonction décroissante positive).

التمرين 3

Exercice 3 — Fonction de deux variables

#multivariable-calculus#continuity#differentiability

Soit $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ pour $(x,y)\ne(0,0)$ et $f(0,0)=0$ .

Étudier la continuité de $f$ en $(0,0)$ .
Calculer les dérivées partielles en $(0,0)$ et étudier la différentiabilité.

◀الحل

Le long de $y=mx$ , $f=\dfrac{m}{1+m^2}$ dépend de $m$ : $\boxed{f\ \text{non continue en }(0,0)}$ . 2. $\partial_x f(0,0)=\partial_y f(0,0)=0$ mais $f$ n'est pas continue donc non différentiable en $(0,0)$ .

→←

→السابقConcours Doctorat 2012 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — Épreuve N°01 التاليConcours Doctorat 2012 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — Épreuve N°01←