مسابقة دكتوراه 2012 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 01

On utilise le degré topologique de Brouwer. Considérons l'homotopie $H(x,t)=t\,f(x)+(1-t)\,x,\qquad t\in[0,1].$ Pour $x\in\partial D$ (où $x\neq0$ car $0$ est intérieur, donc $|x|>0$) : $H(x,t)\cdot x=t\,\big(f(x)\cdot x\big)+(1-t)\,|x|^2>0,$ car $f(x)\cdot x>0$ et $|x|^2>0$. En particulier $H(x,t)\neq0$ sur $\partial D$ pour tout $t\in[0,1]$ : l'homotopie ne s'annule pas au bord.

Par invariance du degré par homotopie, $\deg(f,D,0)=\deg(\mathrm{Id},D,0)=1\neq0,$ puisque $0\in D$. Un degré non nul entraîne l'existence d'une solution : $\boxed{\exists\,x\in D:\ f(x)=0.}$

Sans impulsions

L'équation $y'=1+y^2$, $y(0)=0$ a pour solution $y(t)=\tan t$, définie seulement sur $[0,\tfrac{\pi}{2}[$ : elle explose en $t=\tfrac{\pi}{2}$ ($\lim_{t\to\pi/2^-}\tan t=+\infty$).

Avec impulsions

Entre deux instants d'impulsion, on résout $y'=1+y^2$. Sur $[0,\tfrac{\pi}{4}[$ : $y(t)=\tan t$, et $y\big(\tfrac{\pi}{4}^-\big)=\tan\tfrac{\pi}{4}=1$.

L'impulsion (2) donne $y\big(\tfrac{\pi}{4}^+\big)=1-1=0$. On repart de $0$ : sur $[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}[$, $y(t)=\tan\big(t-\tfrac{\pi}{4}\big)$, et $y\big(\tfrac{\pi}{2}^-\big)=1$, réinitialisé à $0$, etc. Par récurrence, $\boxed{y(t)=\tan\!\Big(t-\frac{k\pi}{4}\Big),\qquad t\in\Big[\tfrac{k\pi}{4},\tfrac{(k+1)\pi}{4}\Big[,\ k=0,1,2,\dots}$

Domaine

Chaque impulsion ramène la solution à $0$ juste avant l'explosion. La solution est ainsi définie et bornée (avec sauts) sur $[0,+\infty[$ tout entier. Les impulsions empêchent l'explosion en temps fini de l'équation de Riccati $y'=1+y^2$.

i) Définitions

Soit $A$ une partie bornée d'un espace de Banach $X$.

Kuratowski : $\alpha(A)=\inf\{d>0:\ A\text{ admet un recouvrement fini par des ensembles de diamètre}\le d\}.$

Hausdorff : $\chi(A)=\inf\{r>0:\ A\text{ admet un recouvrement fini par des boules de rayon }r\}.$

Propriétés (valables pour $\alpha$ et $\chi$) :

• $\alpha(A)=0\iff \overline{A}$ est compact ;
• monotonie : $A\subset B\Rightarrow\alpha(A)\le\alpha(B)$ ;
• $\alpha(\overline{A})=\alpha(A)$, $\alpha(\mathrm{conv}\,A)=\alpha(A)$ ;
• $\alpha(A\cup B)=\max(\alpha(A),\alpha(B))$ ;
• $\alpha(A+B)\le\alpha(A)+\alpha(B)$, $\alpha(\lambda A)=|\lambda|\alpha(A)$ ;
• encadrement : $\chi(A)\le\alpha(A)\le 2\chi(A)$.

ii) Boule unité de $\mathbb{R}^n$

$\mathbb{R}^n$ étant de dimension finie, la boule unité fermée $B$ est compacte, donc $\boxed{\alpha(B)=\chi(B)=0.}$ (En dimension infinie, la boule unité n'est pas compacte et $\chi(B)=1$, $\alpha(B)=2$.)

iii) Sur $C([0,b])$ et $L^1([0,b])$

Sur $C([0,b],\mathbb{R})$ (norme sup) : via le module de continuité. Pour $A$ borné, $\omega(A,\delta)=\sup_{f\in A}\ \sup_{|s-t|\le\delta}|f(s)-f(t)|,\qquad \omega_0(A)=\lim_{\delta\to0}\omega(A,\delta),$ et $\chi(A)=\tfrac12\,\omega_0(A)$. Le théorème d'Ascoli est le cas $\omega_0(A)=0$ (équicontinuité).

Sur $L^1([0,b],\mathbb{R})$ : via le module de continuité en moyenne / l'équi-intégrabilité, $\omega(A,\delta)=\sup_{f\in A}\ \sup_{|h|\le\delta}\int_0^b|f(t+h)-f(t)|\,dt,\qquad \chi(A)\sim\lim_{\delta\to0}\omega(A,\delta),$ caractérisant la compacité par le théorème de Kolmogorov-Riesz-Fréchet (équi-intégrabilité et équi-continuité des translations).

Linéarisé commun

En $(0,0)$ les termes cubiques disparaissent ; la jacobienne des deux systèmes est $J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\qquad \text{valeurs propres }\pm i.$ Le linéarisé est donc identique : un centre (orbites périodiques circulaires).

Passage en coordonnées polaires

Avec $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, on a $r\dot r=x\dot x+y\dot y$ et $r^2\dot\theta=x\dot y-y\dot x$.

Système (4) : $x\dot x+y\dot y=r^4$, d'où $\dot r=r^3,\qquad \dot\theta=1.$ $r$ croît : l'origine est un foyer instable (spirale sortante).

Système (5) : $x\dot x+y\dot y=-r^4$, d'où $\dot r=-r^3,\qquad \dot\theta=1.$ $r$ décroît : l'origine est un foyer stable (spirale rentrante).

Conclusion

$\boxed{\text{Même linéarisé (centre), mais (4) est un foyer instable et (5) un foyer stable.}}$ C'est l'exemple classique montrant qu'un centre du linéarisé n'est pas structurellement stable : les termes non linéaires décident du caractère (foyer stable/instable).