مسابقة دكتوراه 2012 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB) — الموضوع 01

1.

$X_{(n)}\le x \iff \forall i,\ X_i\le x$. Par indépendance :

$F_{X_{(n)}}(x)=P(X_{(n)}\le x)=\prod_{i=1}^n P(X_i\le x)=[F(x)]^n.$

En dérivant :

$\boxed{f_{X_{(n)}}(x)=n\,[F(x)]^{n-1}f(x).}$

2.

$X_{(1)}>x \iff \forall i,\ X_i>x$, donc

$F_{X_{(1)}}(x)=1-P(X_{(1)}>x)=1-[1-F(x)]^n.$

$\boxed{f_{X_{(1)}}(x)=n\,[1-F(x)]^{n-1}f(x).}$

3.

Pour $u<v$, la densité jointe du couple $(X_{(1)},X_{(n)})$ s'obtient en choisissant l'indice réalisant le minimum $u$, celui réalisant le maximum $v$, les $n-2$ autres tombant dans $]u,v[$ :

$\boxed{f_{X_{(1)},X_{(n)}}(u,v)=n(n-1)\,[F(v)-F(u)]^{n-2}f(u)f(v),\quad u<v.}$

Étendue $R=X_{(n)}-X_{(1)}$. Pour $r\ge 0$, en posant $v=u+r$ et en intégrant sur $u$ :

$\boxed{f_R(r)=n(n-1)\int_{-\infty}^{+\infty}[F(u+r)-F(u)]^{n-2}f(u)f(u+r)\,du,}$

et la fonction de répartition correspondante est

$F_R(r)=n\int_{-\infty}^{+\infty}[F(u+r)-F(u)]^{n-1}f(u)\,du,\qquad r\ge 0.$

4.

Chaque $X_i$ vérifie $\{X_i\le y\}$ avec probabilité $F(y)$, indépendamment des autres ; $N_y=\sum_{i=1}^n \mathbf 1_{\{X_i\le y\}}$ compte ces succès, d'où

$\boxed{N_y\sim \mathcal B\big(n,\,F(y)\big).}$

Il y a au moins $k$ observations $\le y$ si et seulement si la $k$-ème plus petite est $\le y$ :

$\{N_y\ge k\}=\{X_{(k)}\le y\}.$

On en déduit la f.d.r. de la $k$-ème statistique d'ordre :

$\boxed{F_{X_{(k)}}(y)=P(N_y\ge k)=\sum_{j=k}^{n}\binom{n}{j}[F(y)]^{j}[1-F(y)]^{n-j}.}$

a.

L'ACP (analyse en composantes principales) vise à résumer un tableau de $n$ individus $\times$ $p$ variables quantitatives (souvent corrélées) par un petit nombre de nouvelles variables synthétiques, les composantes principales, combinaisons linéaires des variables initiales, non corrélées entre elles et de variance (inertie) maximale. On réduit ainsi la dimension en perdant le minimum d'information.

b.

On munit $\mathbb R^{p}$ (espace des individus) d'une métrique $M$ et $\mathbb R^{n}$ (espace des variables) d'une matrice de poids $D$ (souvent $D=\tfrac1n I_n$). Le tableau $X$ étant centré (et éventuellement réduit), on cherche des axes $u$ avec $\|u\|_M=1$ maximisant l'inertie projetée $u^{\top}M\,X^{\top}DX\,M\,u$. Cela revient à diagonaliser la matrice $VM$, où $V=X^{\top}DX$ est la matrice de variance-covariance (ou de corrélation) :

$\boxed{VM\,u_\alpha=\lambda_\alpha u_\alpha,\qquad \lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge 0.}$

c.

Les $n$ individus forment un nuage de points dans $(\mathbb R^{p},M)$, centré en leur centre de gravité. L'ACP cherche la suite d'axes orthogonaux $u_1,u_2,\dots$ passant par ce centre et maximisant successivement l'inertie projetée du nuage (meilleurs sous-espaces d'ajustement au sens des moindres carrés). Les nouvelles variables sont les composantes principales $c_\alpha=XMu_\alpha$ (coordonnées des individus sur $u_\alpha$). Leurs propriétés :

$\mathrm{Var}(c_\alpha)=\lambda_\alpha,\qquad \mathrm{Cov}(c_\alpha,c_\beta)=0\ (\alpha\ne\beta),\qquad \sum_\alpha\lambda_\alpha=\text{inertie totale}.$

d.

On peut mener l'analyse duale dans $\mathbb R^{n}$ en diagonalisant $WD$ avec $W=XMX^{\top}$ :

$WD\,\psi_\alpha=\lambda_\alpha\psi_\alpha.$

Les deux analyses ont les mêmes valeurs propres non nulles et sont reliées par les formules de transition (dualité) :

$\boxed{\psi_\alpha=\frac{1}{\sqrt{\lambda_\alpha}}\,XM\,u_\alpha,\qquad u_\alpha=\frac{1}{\sqrt{\lambda_\alpha}}\,X^{\top}D\,\psi_\alpha.}$

La composante principale s'écrit $c_\alpha=XMu_\alpha=\sqrt{\lambda_\alpha}\,\psi_\alpha$.

e.

Le coefficient de corrélation entre la variable initiale $x^{j}$ et la composante principale $c_\alpha$ vaut

$\boxed{r(x^{j},c_\alpha)=\frac{\sqrt{\lambda_\alpha}\,u_\alpha^{(j)}}{s_j}\ \xrightarrow[\text{ACP normée}]{}\ \sqrt{\lambda_\alpha}\,u_\alpha^{(j)},}$

où $s_j$ est l'écart-type de $x^{j}$ (en ACP normée $s_j=1$). Ces corrélations (les « saturations ») servent à interpréter les axes, et $\sum_\alpha r^{2}(x^{j},c_\alpha)=1$ mesure la qualité de représentation de la variable $x^{j}$.