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مسابقة دكتوراه 2012 — Concours national d'accès au Doctorat (Algérie) — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Systèmes Dynamiques

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Concours de la formation doctorale, Épreuve d'équations différentielles ordinaires, 12 décembre 2012.

التمرين 1

Exercice 1 — Résolution d'équations différentielles

#ordinary-differential-equations#clairaut-equation#bernoulli-equation

Résoudre

  1. y′′−2y′+y=exy''-2y'+y=e^{x}.
  2. (d3ydx3)2+x d3ydx3−d2ydx2=0\left(\dfrac{d^3y}{dx^3}\right)^2+x\,\dfrac{d^3y}{dx^3}-\dfrac{d^2y}{dx^2}=0.
  3. dydx−cos⁡(x) y=cos⁡(x) y2\dfrac{dy}{dx}-\cos(x)\,y=\cos(x)\,y^2.
◀الحل
  1. Résonance : y=(A+Bx)ex+x22ex\boxed{y=(A+Bx)e^{x}+\tfrac{x^2}{2}e^{x}}.
  2. En posant p=y′′p=y'' : équation de Clairaut p=xp′+(p′)2p=xp'+(p')^2, d'où y′′=Cx+C2y''=Cx+C^2 et y=C6x3+C22x2+Dx+Ey=\tfrac{C}{6}x^3+\tfrac{C^2}{2}x^2+Dx+E (solution singulière y′′=−x2/4y''=-x^2/4).
  3. Bernoulli, v=1/yv=1/y : 1y=Ce−sin⁡x−1\boxed{\dfrac1y=Ce^{-\sin x}-1}.

التمرين 2

Exercice 2 — Changement de variable indépendante

#ode#change-of-variable#second-order-linear

Éliminer la première dérivée par la substitution de la variable indépendante t=φ(x)t=\varphi(x) dans l'équation

xy′′−y′−4x3y=0,xy''-y'-4x^3 y=0,

et la résoudre.

◀الحل

Avec t=x2t=x^2 l'équation devient d2ydt2−y=0\dfrac{d^2y}{dt^2}-y=0, d'où

y=A ex2+B e−x2\boxed{y=A\,e^{x^2}+B\,e^{-x^2}}

التمرين 3

Exercice 3 — Système différentiel linéaire

#linear-system#eigenvalues#particular-solution

Soit le système

dxdt=x+y+2e−t,dydt=4x+y+4e−t.\dfrac{dx}{dt}=x+y+2e^{-t},\qquad \dfrac{dy}{dt}=4x+y+4e^{-t}.

Sachant que (0−2e−t)\begin{pmatrix}0\\ -2e^{-t}\end{pmatrix} est une solution particulière du système, donner la solution générale.

◀الحل

Valeurs propres 33 et −1-1, vecteurs (1,2)(1,2) et (1,−2)(1,-2) :

(xy)=c1e3t(12)+c2e−t(1−2)+(0−2e−t)\boxed{\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=c_1 e^{3t}\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}+c_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\ -2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ -2e^{-t}\end{pmatrix}}

التمرين 4

Exercice 4 — Existence et unicité

#cauchy-problem#existence-uniqueness#lipschitz

Étudier l'existence et l'unicité de la solution du problème

dydx=3x y1/3,y(0)=0,\dfrac{dy}{dx}=3x\,y^{1/3},\qquad y(0)=0,

dans le domaine D={(x,y) / −12≤x≤12, −1≤y≤1}D=\{(x,y)\ /\ -\tfrac12\le x\le\tfrac12,\ -1\le y\le1\}.

◀الحل

f=3xy1/3f=3xy^{1/3} continue ⇒\Rightarrow existence (Peano) ; mais ∂f/∂y\partial f/\partial y non bornée en y=0y=0 (non lipschitzienne). Les solutions y≡0y\equiv0 et y=±x3y=\pm x^3 vérifient la C.I. :

solution existe mais n’est pas unique\boxed{\text{solution existe mais n'est pas unique}}

التمرين 5

Exercice 5 — Orbites d'un système plan

#phase-portrait#orbits#homogeneous-ode

Résoudre et tracer les orbites du système

dxdt=2xy,dydt=y2−x2.\dfrac{dx}{dt}=2xy,\qquad \dfrac{dy}{dt}=y^2-x^2.

◀الحل

dydx=y2−x22xy\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2-x^2}{2xy} (homogène) s'intègre en

x2+y2=Cx\boxed{x^2+y^2=Cx}

famille de cercles centrés sur l'axe OxOx et passant par l'origine (plus l'axe x=0x=0).

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