مسابقة دكتوراه 2013 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 06

On considère les formules de Black-Scholes du call et du put européens :

$$\begin{aligned} c_t &= S_t N(d_1) - k e^{-r(T-t)} N(d_2), \\ p_t &= k e^{-r(T-t)} N(-d_2) - S_t N(-d_1), \\ d_1 &= \frac{\ln\left(\frac{S_t}{k}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)}{\sigma\sqrt{T - t}}, \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t}, \end{aligned}$$

où $N$ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

1. Calculer la relation de parité call-put $c_t - p_t$.
2. Montrer que $S_t N'(d_1) = K e^{-r(T-t)} N'(d_2)$.
3. Déduisez-en que $\Delta_{call} = \dfrac{\partial c}{\partial S} = N(d_1)$, $\Delta_{put} = \dfrac{\partial p}{\partial S} = -N(-d_1)$ et que $\Delta_{call} + \Delta_{put} = 1$.