مسابقة دكتوراه 2013 — Université Abdelhamid Ibn Badis - Mostaganem — الموضوع 06

مسابقة تخصص · Analyse Numérique & Optimisation · المدة: 1سا

Épreuve Écrite du Concours d'Accès en 3ième Cycle LMD en Mathématiques — Option : Optimisation, Ondelettes et Calcul Fractionnaire — Épreuve 2 : Méthodes Numériques et Programmation, Université Abdel Hamid Ibn Badis Mostaganem, Faculté des Sciences Exactes et de l'Informatique, Département de Mathématiques et d'Informatique — Mercredi 09 Octobre 2013 (Durée 1 Heure 30 Minutes).

التمرين 1

Exercice 1 — Formulation variationnelle et solution unique

#variational-formulation#sobolev-space#lax-milgram

On considère le problème suivant

\begin{cases} -\frac{d^2 u(x)}{dx^2} = f(x) \quad \text{sur } ]0, 1[ \\\\ u(0) = 0 \\\\ \frac{du}{dx}(1) = 0 \end{cases}

On suppose que ce problème a une solution dans $H^2(]0, 1[)$ et $f \in L^2(]0, 1[)$ .

Établir une formulation variationnelle du problème, en donnant le sous espace $V$ approprié.
Montrer que cette formulation variationnelle a une unique solution.

◀الحل

1.

$V = \{v \in H^1(0,1) : v(0) = 0\}$ . Formulation : trouver $u \in V$ tel que $\int_0^1 u'v' \, dx = \int_0^1 fv \, dx$ $\forall v \in V$ .

2.

Par Lax-Milgram : la forme bilinéaire $a(u,v) = \int u'v'$ est continue et coercive sur $V$ (par Poincaré), et la forme linéaire $L(v) = \int fv$ est continue.

\boxed{\text{Existence et unicité par Lax-Milgram}}

التمرين 2

Exercice 2 — Schéma aux différences finies pour un problème aux limites

#finite-differences#boundary-value-problem#discretization

On considère le problème différentiel

(1) \begin{cases} y''(t) = f(t, y(t), y'(t)), \quad t \in ]a, b[ \\\\ y(a) = \alpha \quad \text{et} \quad y(b) = \beta \end{cases}

On divise $[a, b]$ en $m$ intervalles de longueur $h$ , dans (1).

Montrer que le problème (1) se transforme en

(2) \begin{cases} y_{n+1} = \Phi(y_n, y_{n-1}) + h^2 f_n \\\\ y_0 = \alpha \quad \text{et} \quad y_m = \beta \end{cases}

avec $n = 1 \ldots m-1$ et $f_n = f(t_n, y_n, y_n')$ . Donner $\Phi$ .

Écrire (2) sous forme matricielle pour $n = 1 \ldots m-1$ .

◀الحل

1.

En approchant $y'' \approx \frac{y_{n+1} - 2y_n + y_{n-1}}{h^2}$ et $y' \approx \frac{y_{n+1} - y_{n-1}}{2h}$ , on obtient $y_{n+1} = 2y_n - y_{n-1} + h^2 f_n$ , donc $\Phi(y_n, y_{n-1}) = 2y_n - y_{n-1}$ .

2.

Système tridiagonal : $AY = F$ avec $A$ matrice tridiagonale $(1, -2, 1)$ et $F$ contenant $h^2 f_n$ et les conditions aux limites.

\boxed{\Phi(y_n, y_{n-1}) = 2y_n - y_{n-1}}

التمرين 3

Exercice 3 — Transformation matrice-vecteur en Matlab

#matlab#matrix-operations#vectorization

On considère la matrice $M$ de taille $N_1 \times N_2$ suivante :

M = \begin{pmatrix} M_{1,1} & M_{1,2} & \cdots & M_{1,N_2} \\\\ M_{2,1} & M_{2,2} & \cdots & M_{2,N_2} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ M_{N_1,1} & M_{N_1,2} & \cdots & M_{N_1,N_2} \end{pmatrix}

Écrire un programme (en MatLab) pour transformer cette matrice en un vecteur $V$ de dimension $p = N_1 \times N_2$ de la forme

V = (M_{1,1} \; M_{1,2} \; \cdots \; M_{1,N_2} \; M_{2,1} \; M_{2,2} \; \cdots \; M_{2,N_2} \; \cdots \; M_{N_1,1} \; M_{N_1,2} \; \cdots \; M_{N_1,N_2})^T.

◀الحل

En Matlab, la commande V = M'; suivie de V = V(:); ou directement V = reshape(M', [], 1); effectue cette transformation (transposée puis vectorisation colonne par colonne).

\boxed{V = \text{reshape}(M', [], 1)}

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