مسابقة دكتوراه 2012 — Université 8 Mai 1945 - Guelma — الموضوع 04

1. La transformee de $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$ par l'homothetie $h_\lambda$ de rapport $\lambda \in \mathbb{R}$ est la distribution $T \circ h_\lambda$ definie par $\langle T \circ h_\lambda, \varphi\rangle = \frac{1}{|\lambda|}\langle T, \varphi \circ h_{1/\lambda}\rangle$. On dit que $T$ est homogene de degre $p$ si $T \circ h_\lambda = \lambda^p T$.

a) Montrer que les distributions $|x|$, $\mathrm{sgn}(x)$ sont homogenes et determiner leurs degres. b) Meme question pour $vp\left(\frac{1}{x}\right)$ et $Pf\left(\frac{1}{x^2}\right)$.

2. Pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, on definit $vp\left(\frac{1}{x}\right)(\varphi) = \int_0^{+\infty} \frac{\varphi(x) - \varphi(-x)}{x}dx$.

a) Montrer que $x \cdot vp\left(\frac{1}{x}\right) = 1$. b) Resoudre dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ l'equation $xT = 0$. c) En deduire la solution dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ de l'equation $xT = 1$.