مسابقة دكتوراه 2012 — Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène (USTHB)

التمرين 1

Problème 1 — Espace de Sobolev V et distributions

#sobolev-spaces#hilbert-spaces#distributions#completeness

Soient $a$ et $b$ ( $a < b$ ) deux réels fixés. On rappelle que $L^2(]a,b[)$ est un espace de Hilbert pour le produit scalaire $(f,g) = \int_a^b f(x)g(x)\,dx$ .

L'espace de Sobolev $H^1(]a,b[)$ est défini par :

$H^1(]a,b[) = \{ u \in L^2(]a,b[) \;:\; u' \in L^2(]a,b[) \}$

muni de la norme $\|u\|^2_{H^1} = \|u\|^2_{L^2} + \|u'\|^2_{L^2}$ .

On note $H_0^1(]a,b[)$ l'adhérence de $\mathcal{D}(]a,b[)$ dans $H^1(]a,b[)$ .

On considère l'espace vectoriel :

$V = \{ v \in H_0^1(]a,b[) \;:\; v''' \in L^2(]a,b[) \}$

muni de la norme canonique $\|v\|^2_V = \|v\|^2_{H_0^1(]a,b[)} + \|v'''\|^2_{L^2(]a,b[)}$ .

Montrer que $V$ est un espace de Hilbert (montrer juste la complétude).
Soit $S$ une distribution sur $]a,b[$ à dérivée $S'$ appartenant à $L^2(]a,b[)$ . Pour tout $x$ dans $]a,b[$ on pose $v(x) = \int_a^x S'(x)\,dx$ .

Et en déduire que la solution $u$ du problème $(\mathcal{P})$ vérifie :

$u^{(4)} + u = g \quad \text{dans } \mathcal{D}'(]a,b[)$

Justifier l'existence de $u^{(3)}(a)$ et $u^{(3)}(b)$ .
Démontrer que la solution $u$ du problème $(\mathcal{P})$ vérifie les conditions aux limites :

$\begin{cases} u^{(3)}(a) = 0, \\ u^{(3)}(b) = \eta. \end{cases}$

◀الحل

1.

Soit $(v_n)$ une suite de Cauchy dans $V$ . Elle est de Cauchy dans $H_0^1$ donc $v_n \to v$ dans $H_0^1$ . De plus $(v_n''')$ est de Cauchy dans $L^2$ , donc $v_n''' \to w$ dans $L^2$ . Par unicité de la limite au sens des distributions, $v''' = w \in L^2$ , donc $v \in V$ . Ainsi $V$ est complet, c'est un espace de Hilbert.

2.

$v(x) = \int_a^x S'(t)dt$ est bien défini car $S' \in L^2$ . On vérifie que $v' = S'$ au sens des distributions, donc $S = v + c$ pour une constante $c$ .

6.

Puisque $u \in V$ , on a $u''' \in L^2(]a,b[)$ , et par injection de Sobolev $u''' \in C(]a,b[)$ (sous hypothèses appropriées), ce qui justifie l'existence de $u^{(3)}(a)$ et $u^{(3)}(b)$ .

7.

Par intégration par parties dans la formulation variationnelle du problème $(\mathcal{P})$ , on obtient les conditions aux limites :

$\boxed{u^{(3)}(a) = 0, \quad u^{(3)}(b) = \eta.}$