مسابقة دكتوراه 2012 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 03

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 2سا

Concours d'entrée en Doctorat LMD, Option Analyse et Probabilité, Épreuve Probabilités et Statistique, Université de Béjaïa, Faculté des Sciences Exactes, 18/11/2012, durée 2h.

التمرين 1

Erreurs dans un livre et approximation de Poisson

#binomial-distribution#poisson-approximation#expectation#variance

Un livre de 1500 pages contient 1000 erreurs réparties au hasard. On ouvre le livre à une page quelconque et on désigne par $X$ le nombre d'erreurs rencontrées dans cette page. 1) Donner la distribution de $X$ ainsi que ses paramètres. 2) Calculer $E(X)$ et $\mathrm{var}(X)$ . 3) On approxime la loi de $X$ par une loi de Poisson : est-ce légitime ? Déterminer son paramètre. 4) Calculer la probabilité de n'avoir aucune erreur. 5) Calculer la probabilité de rencontrer plus de deux erreurs.

◀الحل

1) Chaque erreur tombe sur la page choisie avec probabilité $p=1/1500$ , indépendamment ; $X\sim\mathcal B(1000,1/1500)$ . 2) $E(X)=np=1000/1500=2/3$ ; $\mathrm{var}(X)=np(1-p)=\tfrac23\cdot\tfrac{1499}{1500}\approx0.666$ . 3) $n$ grand, $p$ petit, $np=2/3$ modéré : l'approximation de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ avec $\lambda=np=2/3$ est légitime. 4) $P(X=0)\approx e^{-2/3}\approx0.513$ . 5) $P(X>2)=1-P(X\le2)=1-e^{-2/3}(1+\tfrac23+\tfrac{(2/3)^2}2)=1-e^{-2/3}(1+0.667+0.222)\approx1-0.513\cdot1.889\approx0.030$ .

التمرين 1

Convergence de sin(nx)/(pi x) vers la masse de Dirac

#distributions#Riemann-Lebesgue#Dirac

On considère $\varphi\in\mathcal{D}$ de support $[a,b]$ .

Montrer que les intégrales

I_n=\int_a^b\sin(nx)\,\varphi(x)\,dx,\qquad J_n=\int_a^b\cos(nx)\,\varphi(x)\,dx

tendent vers $0$ quand $n\to\infty$ . 2. En déduire que la distribution $\dfrac{\sin(nx)}{\pi x}$ converge vers la distribution $\delta$ de Dirac. (Indication : $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt=\pi$ .)

◀الحل

C'est le lemme de Riemann-Lebesgue : $\varphi$ étant $C^\infty$ à support compact, une intégration par parties donne $I_n,J_n=O(1/n)\to0$ . 2. $\langle\frac{\sin(nx)}{\pi x},\varphi\rangle=\frac1\pi\int\frac{\sin(nx)}{x}\varphi(x)\,dx$ ; par le changement $t=nx$ et $\int\frac{\sin t}{t}dt=\pi$ , la partie $\varphi(0)$ donne $\varphi(0)$ , le reste tend vers $0$ (Riemann-Lebesgue sur $\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}$ ). Donc $\frac{\sin(nx)}{\pi x}\to\delta$ .

التمرين 2

Couple (U,V)=(X₁X₂, X₁/X₂) pour une densité en 1/x²

#joint-density#change-of-variables#conditional-density#independence

Soit $X$ de densité $f_X(x)=\frac1{x^2}\mathbf1_{[1,+\infty[}(x)$ . Soient $X_1,X_2$ indépendantes de même loi que $X$ , $U=X_1X_2$ , $V=X_1/X_2$ . 1) Déterminer la densité du couple $(U,V)$ et tracer son domaine. 2) Déterminer les densités de $U$ et de $V$ . 3) Déterminer la densité conditionnelle de $V$ sachant $U=u$ . 4) $U$ et $V$ sont-elles indépendantes ? 5) On pose $Z=\sqrt U$ ; calculer la densité de $Z$ .

◀الحل

La densité jointe de $(X_1,X_2)$ est $\frac1{x_1^2x_2^2}$ sur $[1,\infty)^2$ . Le changement $u=x_1x_2$ , $v=x_1/x_2$ donne $x_1=\sqrt{uv}$ , $x_2=\sqrt{u/v}$ , jacobien $|\partial(x_1,x_2)/\partial(u,v)|=\frac1{2v}$ . Le domaine est $u\ge1$ , $1/u\le v\le u$ (car $x_1,x_2\ge1$ ). 1) $f_{U,V}(u,v)=\frac1{(uv)(u/v)}\cdot\frac1{2v}=\frac1{2u^2v}$ sur ce domaine. 2) $f_U(u)=\int_{1/u}^u\frac1{2u^2v}dv=\frac1{2u^2}[\ln v]_{1/u}^u=\frac{\ln u}{u^2}$ , $u\ge1$ . La densité de $V$ s'obtient par symétrie : $f_V(v)=\frac1{2v^2}$ pour $v\ge1$ et $\frac12$ pour $0<v\le1$ (loi de $X_1/X_2$ ). 3) $f_{V|U=u}(v)=\frac{f_{U,V}(u,v)}{f_U(u)}=\frac1{2v\ln u}$ sur $[1/u,u]$ . 4) Elle dépend de $u$ via le support, donc $U$ et $V$ ne sont pas indépendantes. 5) $Z=\sqrt U$ , $u=z^2$ , $f_Z(z)=f_U(z^2)\cdot2z=\frac{\ln(z^2)}{z^4}2z=\frac{4\ln z}{z^3}$ pour $z\ge1$ .

التمرين 2

Équation intégrale de Volterra résolue par une EDO linéaire

#équation intégrale#EDO linéaire#Volterra

A) Soit $f\in C^1([a,b])$ avec $0\in[a,b]$ et $\lambda\in\mathbb{R}^*$ . On considère

g(x)-\lambda\int_0^x g(t)\,dt=f(x).\tag{A}

Montrer que $g$ vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre que l'on intégrera.
En déduire que (A) admet une solution unique $g(x)=f(x)+\lambda\int_0^x e^{\lambda(x-t)}f(t)\,dt$ .

B) 1. Déduire que $g(x)-\lambda\int_0^x e^{\mu(x-t)}g(t)\,dt=f(x)$ admet une solution unique. 2. Calculer la solution pour $f(x)=e^{\mu x}$ .

◀الحل

A1. En dérivant (A) : $g'(x)-\lambda g(x)=f'(x)$ , avec $g(0)=f(0)$ . A2. Facteur intégrant $e^{-\lambda x}$ : $g(x)=f(x)+\lambda\int_0^x e^{\lambda(x-t)}f(t)\,dt$ . B1. Même méthode : la solution unique est $g(x)=f(x)+\lambda\int_0^x e^{(\mu+\lambda)(x-t)}f(t)\,dt$ . B2. Pour $f=e^{\mu x}$ : $\int_0^x e^{(\mu+\lambda)(x-t)}e^{\mu t}dt=\frac{e^{(\mu+\lambda)x}-e^{\mu x}}{\lambda}$ , d'où $g(x)=e^{\mu x}+\bigl(e^{(\mu+\lambda)x}-e^{\mu x}\bigr)=e^{(\mu+\lambda)x}$ .

التمرين 3

Estimation du paramètre d'une loi de densité θx^(θ-1)

#parametric-estimation#method-of-moments#maximum-likelihood#efficiency

Soit $X$ de densité $f(x,\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbf1_{[0,1]}(x)$ , $\theta>0$ . 1) Déterminer par la méthode des moments l'estimateur de $\theta$ au vu de l'échantillon $(X_1,\dots,X_n)$ . 2) Déterminer par le maximum de vraisemblance l'estimateur $T_{1/\theta}$ de $1/\theta$ . 3) $T_{1/\theta}$ est-il sans biais ? 4) Si oui, est-il efficace ?

◀الحل

1) $E(X)=\int_0^1x\theta x^{\theta-1}dx=\frac\theta{\theta+1}$ . En égalant à $\bar X$ : $\frac{\hat\theta}{\hat\theta+1}=\bar X$ , donc $\hat\theta_{MM}=\frac{\bar X}{1-\bar X}$ . 2) La log-vraisemblance $\ell(\theta)=n\ln\theta+(\theta-1)\sum\ln X_i$ ; $\ell'(\theta)=\frac n\theta+\sum\ln X_i=0$ donne $\hat\theta_{MV}=-\frac n{\sum\ln X_i}$ , donc l'estimateur de $1/\theta$ est $T_{1/\theta}=-\frac1n\sum\ln X_i$ . 3) $-\ln X_i\sim\mathcal E(\theta)$ (loi exponentielle), d'espérance $1/\theta$ , donc $E(T_{1/\theta})=1/\theta$ : sans biais. 4) $\mathrm{var}(T_{1/\theta})=\frac1{n}\cdot\frac1{\theta^2}=\frac1{n\theta^2}$ . L'information de Fisher pour $1/\theta$ atteint cette borne (modèle exponentiel), donc $T_{1/\theta}$ est efficace.

التمرين 4

Intervalle de confiance pour la superficie moyenne des états

#confidence-interval#student-distribution#sampling#estimation

La population des USA compte 50 états. Un échantillon aléatoire de 5 états a fourni les superficies (en milliers de km²) : 147, 84, 24, 85, 159. 1) Trouver un intervalle de confiance à 95% pour la superficie moyenne. 2) Déterminer l'intervalle de confiance à 95% pour la superficie totale des USA. 3) La superficie totale réelle est 3620000 km² ; est-elle dans l'intervalle ?

◀الحل

1) Moyenne $\bar x=\frac{147+84+24+85+159}5=\frac{499}5=99.8$ . Variance corrigée $s^2=\frac1{4}\sum(x_i-\bar x)^2$ ; les écarts donnent $s\approx52.5$ . Avec $t_{0.975,4}=2.776$ , l'IC est $99.8\pm2.776\cdot\frac{52.5}{\sqrt5}=99.8\pm65.2$ , soit environ $[34.6,165.0]$ milliers de km². 2) Superficie totale $=50\times$ moyenne, IC : $[50\cdot34.6,50\cdot165.0]=[1730,8250]$ milliers de km², soit $[1\,730\,000,8\,250\,000]$ km². 3) $3\,620\,000$ km² appartient à cet intervalle : oui, l'aire réelle est comprise dans l'intervalle de confiance.

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