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مسابقة دكتوراه 2012 — Université 8 Mai 1945 - Guelma — الموضوع 03

مسابقة تخصص · EDP · المدة: 3سا

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MCP — Université 8 Mai 1945 - Guelma 2012 — 3c67f7f8.jpg — Guelma, Concours de la formation doctorale, Épreuve d'équations différentielles ordinaires, datée 12.12.12 (copie manuscrite). ANNÉE : datée déc. 2012, classée 2012 ; il se peut qu'elle

التمرين 1

Exercice 1

#équations différentielles ordinaires#équation linéaire#équation de Bernoulli#équation de Clairaut

Résoudre :

  1. y′′−2y′+y=exy'' - 2y' + y = e^x.
  2. (d3ydx3)2+x d3ydx3−d2ydx2=0\left(\dfrac{d^3 y}{dx^3}\right)^2 + x\,\dfrac{d^3 y}{dx^3} - \dfrac{d^2 y}{dx^2} = 0.
  3. dydx−cos⁡(x) y=cos⁡(x) y2\dfrac{dy}{dx} - \cos(x)\,y = \cos(x)\,y^2.

التمرين 2

Exercice 2

#équations différentielles ordinaires#changement de variable#réduction d'équation

Éliminer la première dérivée par la substitution de la variable indépendante t=φ(x)t = \varphi(x) dans l'équation

xy′′−y′−4x3y=0x y'' - y' - 4x^3 y = 0

et la résoudre.

التمرين 3

Exercice 3

#système différentiel linéaire#solution particulière#solution générale

Soit le système

{dxdt=x+y+2e−t,dydt=4x+y+4e−t.\begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = x + y + 2e^{-t}, \\\\ \dfrac{dy}{dt} = 4x + y + 4e^{-t}. \end{cases}

Sachant que (0−2e−t)\begin{pmatrix} 0 \\ -2e^{-t} \end{pmatrix} est une solution particulière de ce système, donner la solution générale de ce système.

التمرين 4

Exercice 4

#problème de Cauchy#existence et unicité#théorème de Cauchy-Lipschitz

Étudier l'existence et l'unicité de la solution du problème

dydx=3x y13,y(0)=0\frac{dy}{dx} = 3x\,y^{\frac{1}{3}}, \quad y(0) = 0

dans le domaine D={(x,y) | −12≤x≤12, −1≤y≤1}D = \left\{ (x, y) \ \middle|\ -\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{1}{2},\ -1 \leq y \leq 1 \right\}.

التمرين 5

Exercice 5

#système différentiel#orbites#portrait de phase#systèmes dynamiques

Résoudre et tracer les orbites du système

dxdt=2xy,dydt=y2−x2.\frac{dx}{dt} = 2xy, \qquad \frac{dy}{dt} = y^2 - x^2.
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