مسابقة دكتوراه 2012 — Université Mohamed Boudiaf

التمرين 1

Compacité de l'opérateur identité selon la dimension

#compact-operators#identity-operator#riesz-theorem#banach-space

Soit $E$ un espace de Banach et $I$ l'opérateur identité de $E$ dans $E$ . Étudier la compacité de $I$ dans le cas où $E$ est de dimension finie, puis dans le cas où $E$ est de dimension infinie.

◀الحل

$I$ est compact ssi la boule unité fermée $\overline B_E$ est relativement compacte (car $I(\overline B_E)=\overline B_E$ ). En dimension finie, $\overline B_E$ est compacte (Borel-Lebesgue), donc $I$ est compact. En dimension infinie, par le théorème de Riesz la boule unité fermée n'est jamais compacte, donc $I$ n'est pas compact.

التمرين 2

Équation intégrale associée à un problème de Cauchy

#integral-equation#volterra#initial-value-problem#ode

Former l'équation intégrale correspondant à l'équation différentielle $y''+xy'+x^2y=0$ avec les conditions initiales $y(0)=1$ , $y'(0)=1$ .

◀الحل

Posons $y''(x)=\phi(x)$ . En intégrant, $y'(x)=1+\int_0^x\phi(t)dt$ et $y(x)=1+x+\int_0^x(x-t)\phi(t)dt$ . En remplaçant dans l'équation $\phi=-xy'-x^2y$ : $\phi(x)+x\big(1+\int_0^x\phi(t)dt\big)+x^2\big(1+x+\int_0^x(x-t)\phi(t)dt\big)=0$ . On obtient l'équation intégrale de Volterra de seconde espèce $\phi(x)+\int_0^x\big[x+x^2(x-t)\big]\phi(t)dt=-x-x^2-x^3$ , dont le noyau est $K(x,t)=x+x^2(x-t)$ .

التمرين 3

Décomposition de Littlewood-Paley et estimation L²

#littlewood-paley#fourier-transform#distributions#schwartz-space

$\mathcal S(\mathbb R)$ est la classe de Schwartz, $\widehat\psi$ la transformée de Fourier. Soit $\psi\in\mathcal S(\mathbb R)$ avec $\operatorname{supp}\widehat\psi\subset[\tfrac14,3]$ , $\psi_j(x)=2^j\psi(2^jx)$ , $j\in\mathbb Z$ . Pour $f$ donnée on pose $T_f=\sum_{j\in\mathbb Z}\psi_j*f$ . 1) Si $\big(\int_{\mathbb R}|T_f|^2\big)^{1/2}<\infty$ , montrer $T_f\in\mathcal D'(\mathbb R)$ . 2) Montrer que $\sum_{j\in\mathbb Z}\widehat\psi_j(\xi)$ n'a qu'un nombre fini de termes non nuls et le déterminer. 3) Calculer $\widehat{T_f}$ . 4) En déduire $\exists c>0$ , $\|T_f\|_{L^2}\le c\|f\|_{L^2}$ . 5) En déduire $\big|\frac{d^m}{d\xi^m}\sum_j\widehat\psi_j(\xi)\big|\le c|\xi|^{-m}$ .

◀الحل

1) Toute fonction de $L^2(\mathbb R)$ définit une distribution tempérée par $\varphi\mapsto\int T_f\varphi$ (Cauchy-Schwarz), donc $T_f\in\mathcal D'(\mathbb R)$ .

2) $\widehat{\psi_j}(\xi)=\widehat\psi(\xi/2^j)$ , de support $[2^{j-2},3\cdot2^j]$ . Pour un $\xi>0$ fixé, la condition $2^{j-2}\le\xi\le3\cdot2^j$ ne concerne qu'un nombre fini de $j$ consécutifs (environ $\log_2 12\approx3$ à $4$ valeurs) : la somme est localement finie.

3) $\widehat{T_f}(\xi)=\sum_j\widehat{\psi_j}(\xi)\widehat f(\xi)=\Big(\sum_j\widehat\psi(\xi/2^j)\Big)\widehat f(\xi)$ , produit de $\widehat f$ par le multiplicateur $m(\xi)=\sum_j\widehat\psi(\xi/2^j)$ .

4) $m$ est bornée (somme localement finie de fonctions bornées), $\|m\|_\infty\le c$ . Par Plancherel, $\|T_f\|_{L^2}=\|\widehat{T_f}\|_{L^2}=\|m\widehat f\|_{L^2}\le c\|\widehat f\|_{L^2}=c\|f\|_{L^2}$ .

5) Par changement d'échelle, $\frac{d^m}{d\xi^m}\widehat\psi(\xi/2^j)=2^{-jm}\widehat\psi^{(m)}(\xi/2^j)$ ; en sommant sur les $\lesssim1$ indices actifs pour lesquels $2^j\sim\xi$ , on obtient $\big|\frac{d^m}{d\xi^m}m(\xi)\big|\lesssim\xi^{-m}\|\widehat\psi^{(m)}\|_\infty=c|\xi|^{-m}$ (condition de type Mikhlin-Hörmander).