مسابقة دكتوراه 2012 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 02

Comme $\sin$ est $1$-lipschitzienne, $\|\sin(f_n)-\sin(f)\|_\infty\le\|f_n-f\|_\infty\to0$, donc $\sin(f_n)\to\sin(f)$ uniformément. Plus généralement, si $g$ est uniformément continue sur un intervalle contenant les valeurs des $f_n$ (par exemple $g$ continue et les $f_n$ à valeurs dans un compact fixe), alors $g\circ f_n\to g\circ f$ uniformément.

Soit $B\subset X$ bornée, $\sup_{x\in B}\|x\|\le M$. Pour $x\in B$, $\|A_nx-Ax\|=\|(A_n-A)x\|\le\|A_n-A\|\,\|x\|\le M\|A_n-A\|$. Comme $\|A_n-A\|\to0$, le majorant $M\|A_n-A\|$ est indépendant de $x\in B$ et tend vers $0$, d'où la convergence uniforme sur $B$.

En posant $\xi=x_1-c x_2$, on a $\partial_{x_1}f=H'(\xi)=\delta(\xi)$ et $\partial_{x_2}f=-c\,\delta(\xi)$. Donc $\partial_{x_1}^2 f=\delta'(\xi)$ et $\partial_{x_2}^2 f=c^2\delta'(\xi)$, d'où $\partial_{x_2}^2 f-c^2\partial_{x_1}^2 f=c^2\delta'-c^2\delta'=0$. La distribution est solution de l'équation des ondes.

1) Soit $(x,y)\notin\Gamma$, donc $y\ne f(x)$. $F$ étant séparé, il existe des ouverts disjoints $V\ni y$, $W\ni f(x)$. Par continuité, $U=f^{-1}(W)$ est un ouvert contenant $x$ et $U\times V$ est un voisinage de $(x,y)$ ne rencontrant pas $\Gamma$ (car pour $x'\in U$, $f(x')\in W$ disjoint de $V$). Donc le complémentaire de $\Gamma$ est ouvert : $\Gamma$ est fermé.

2) Pour $f(x)=1/x$ ($x\ne0$), $f(0)=0$ : le graphe est $\{(x,1/x):x\ne0\}\cup\{(0,0)\}$, fermé dans $\mathbb R^2$ (les deux branches d'hyperbole partent à l'infini et $(0,0)$ est isolé verticalement). Pourtant $f$ n'est pas continue en $0$. Le graphe fermé n'implique donc pas la continuité sans hypothèse supplémentaire (type théorème du graphe fermé entre Banach).

Par séparation des variables et le calcul unidimensionnel $\int_{\mathbb{R}}e^{-\lambda t^2}e^{-i\xi t}\,dt=\sqrt{\tfrac\pi\lambda}\,e^{-\xi^2/(4\lambda)}$, on obtient

1. $H^s$ est muni du produit scalaire $\langle u,v\rangle_s=\int(1+|\xi|^2)^s\widehat u\,\overline{\widehat v}\,d\xi$ ; c'est un Hilbert car isométrique à $L^2$ pondéré, complet. Si $s_1\ge s_2$, $(1+|\xi|^2)^{s_2}\le(1+|\xi|^2)^{s_1}$ donne $\|u\|_{s_2}\le\|u\|_{s_1}$, d'où l'inclusion. 2. Les inégalités résultent de la comparaison entre $(1+|\xi|^2)^m$ et la somme des monômes $\prod|\xi_j|^{2\alpha_j}$ (équivalence des normes de polynômes homogènes). 3. Via Fourier, $\|D^\alpha u\|_{L^2}^2=\int|\xi^\alpha|^2|\widehat u|^2$ ; l'encadrement de 2 montre que $\sum_{|\alpha|\le m}\|D^\alpha u\|^2$ et $\int(1+|\xi|^2)^m|\widehat u|^2$ sont équivalentes, donc $H^m=E$ avec normes équivalentes.

(i) La forme bilinéaire $a(u,v)=\int p\,u'v'+\int q\,uv$ est continue et coercive sur $H_0^1$ (grâce à $p\ge\alpha>0$, $q\ge0$ et l'inégalité de Poincaré). Lax-Milgram donne une unique solution, qui minimise $J(v)=\tfrac12 a(v,v)-\int f v$. (ii) La symétrie de $a$ rend $T$ auto-adjoint ; $\langle Tf,f\rangle=a(u,u)\ge0$ donne la positivité ; l'injection compacte $H_0^1\hookrightarrow L^2$ (Rellich) donne la compacité ; $Tf=0\Rightarrow u=0\Rightarrow f=0$ donne l'injectivité.