مسابقة دكتوراه 2014 — Université 8 Mai 1945

التمرين 1

Espaces de champs à divergence nulle et problème de Stokes

#Stokes#Sobolev#divergence#Riesz

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^3$ à frontière de classe $C^1$ . On pose

V^0=\left\{u\in L^2(\Omega,\mathbb{R}^3):\int_\Omega u\cdot\nabla\varphi\,dx=0,\ \forall\varphi\in H^1(\Omega)\right\},

V^1=\{u\in H^1(\Omega,\mathbb{R}^3):\operatorname{div}u=0,\ u|_{\partial\Omega}=0\}.

Montrer que $V^0$ et $V^1$ sont des espaces vectoriels.
Montrer que $V^1\subset V^0$ .
Montrer qu'il existe $c_1,c_2>0$ tels que, pour tout $u\in V^1$ ,

\|u\|_{H^1(\Omega)}^2 \le c_1\int_\Omega\sum_{i,j=1}^3\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right)^2dx \le c_2\|u\|_{H^1(\Omega)}^2.

Montrer que, pour $v\in V^1\cap H^2(\Omega)$ et $w\in V^1$ ,

(v,w)_{V^1}=(-\Delta v,w)_{L^2}=(-P_{V^0}\Delta v,w)_{L^2},

où $P_{V^0}$ est la projection orthogonale de $L^2(\Omega,\mathbb{R}^3)$ sur $V^0$ .

Pour $f\in V^0$ , utiliser le théorème de Riesz afin de montrer que

-P_{V^0}\Delta v=f

admet une unique solution faible $v\in V^1$ .

◀الحل

Les propriétés vectorielles suivent de la linéarité de la divergence et des conditions au bord. Pour $u\in V^1$ , une intégration par parties donne $\int_\Omega u\cdot\nabla\varphi=-\int_\Omega\varphi\,\operatorname{div}u=0$ , donc $V^1\subset V^0$ . L'équivalence des normes découle de l'inégalité de Poincaré. Enfin, la forme

a(u,w)=\int_\Omega \nabla u:\nabla w\,dx

est continue et coercive sur $V^1$ . Le théorème de Riesz, ou Lax-Milgram, donne donc une unique solution faible vérifiant $a(v,w)=(f,w)$ pour tout $w\in V^1$ .