مسابقة دكتوراه 2014 — Université Mohamed Khider - Biskra — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 1سا 30د

Concours d'accès à la formation de 3ème Cycle LMD, Mathématiques Appliquées (Option : Probabilités et Statistique), Épreuve de Probabiliés, Université Mohamed Khider - Biskra, Faculté des Sciences Exactes et des Sciences de la Nature et de la Vie, Département de Mathématiques, 16 octobre 2014, durée 01h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Espérance conditionnelle : projection, inégalité de Bienaymé–Chebyshev et variables U, V

#conditional-expectation#bienayme-chebyshev#projection#L2-space

Soient $(\Omega, F, P)$ un espace probabilisé, $X$ une variable aléatoire réelle sur $(\Omega, F, P)$ , et $G$ une sous-tribu de $F$ .

Montrer que si $E(X^2) \lt \infty$ , alors $E(X/G)$ est la variable aléatoire $Y$ , $G$ -mesurable qui minimise $E[(X-Y)^2]$ .
Pour tout $A \in F$ , on pose $P(A/G) = E(1_A/G)$ . Montrer l'inégalité de Bienaymé–Chebyshev : $P(\{|X| \geq a\}/G) \leq \frac{1}{a^2} E(X^2/G)$
On considère deux variables aléatoires $U$ et $V$ telles que $E(V/G) = U$ et $E(U^2) = E(V^2)$ . a. Calculer $\text{Var}(V - U/G)$ . b. En déduire $\text{Var}(V - U)$ . c. Que peut-on en déduire sur la relation entre $U$ et $V$ ?

◀الحل

1.

Pour tout $Z \in L^2(G)$ , $E[Z(X - E[X/G])] = 0$ . Si $Y = E[X/G] + Z$ , $Z$ $G$ -mesurable, alors : $E[(X-Y)^2] = E[(X-E[X/G])^2] + E[Z^2]$ Minimal pour $Z = 0$ , donc $Y = E[X/G]$ .

2.

$E[X^2/G] \geq E[X^2 1_{\{X^2 \geq a^2\}}/G] \geq a^2 E[1_{\{|X|\geq a\}}/G] = a^2 P(\{|X|\geq a\}/G)$ .

3a.

$E[V - U/G] = U - U = 0$ , donc $\text{Var}(V-U/G) = E[(V-U)^2/G] = E[V^2/G] - U^2$ .

3b.

$\text{Var}(V-U) = E[E[(V-U)^2/G]] = E[E[V^2/G]] - E[U^2] = E[V^2] - E[U^2] = 0$ .

3c.

$V - U = 0$ p.s., donc $\boxed{V = U \text{ p.s.}}$

التمرين 2

Exercice 2 — Décomposition de Doob des sous-martingales

#martingales#doob-decomposition#submartingale#filtration

Soit $(\Omega, F, \{F_n\}, P)$ un espace probabilisé filtré.

Montrer que toute sous-martingale $\{X_n\}_{n\geq 0}$ peut être écrite d'une manière unique comme $X_n = M_n + A_n$ , où $M_n$ est une martingale et $A_n$ est un processus prévisible croissant tel que $A_0 = 0$ .
Soit $X_n = \sum_{m=1}^n 1_{B_m}$ , avec $B_n \in F_n$ , $\forall n$ . Montrer que $X_n$ est une sous-martingale.
Donner la décomposition de Doob de $X_n$ .

◀الحل

1.

Si la décomposition existe, avec $E[M_n/F_{n-1}] = M_{n-1}$ et $A_n$ $F_{n-1}$ -mesurable, alors : $E[X_n/F_{n-1}] = M_{n-1} + A_n = X_{n-1} - A_{n-1} + A_n$ Donc $A_n = A_{n-1} + E[X_n/F_{n-1}] - X_{n-1}$ et $M_n = X_n - A_n$ (unicité). L'existence se vérifie : $A_n \geq A_{n-1}$ car $X_n$ est une sous-martingale.

2.

$E[X_{n+1}/F_n] = E[X_n + 1_{B_{n+1}}/F_n] = X_n + E[1_{B_{n+1}}/F_n] \geq X_n$ . ✓

3.

La décomposition de Doob est : $A_n = \sum_{m=1}^n E[1_{B_m}/F_{m-1}], \quad M_n = \sum_{m=1}^n (1_{B_m} - E[1_{B_m}/F_{m-1}])$

التمرين 3

Exercice 3 — Fonctions caractéristiques et convergence en loi

#characteristic-functions#convergence-in-law#tightness

Soient $X$ une v.a.r., $(X_n)_{\mathbb{N}}$ et $(Y_n)_{\mathbb{N}}$ deux suites de v.a.r.

Montrer que, pour tous $t \in \mathbb{R}$ , $\alpha \gt 0$ et $n \in \mathbb{N}$ : $|\Phi_{X_n+Y_n}(t) - \Phi_{X_n}(t)| \leq 2P(|Y_n| \gt \alpha) + E\!\left[1_{]-\infty,\alpha]}(|Y_n|)\,|e^{itY_n} - 1|\right]$ où $\Phi_Z$ désigne la fonction caractéristique de la v.a.r. $Z$ .
Montrer que si $(X_n)_{\mathbb{N}}$ converge en loi vers $X$ et $(Y_n)_{\mathbb{N}}$ converge en loi (ou en probabilité) vers 0, alors la suite $(X_n + Y_n)_{\mathbb{N}}$ converge en loi vers $X$ .
À l'aide d'un exemple, montrer que l'on n'a pas nécessairement $(X_n - X)_{\mathbb{N}}$ qui converge en loi vers 0.

◀الحل

1.

$|\Phi_{X_n+Y_n}(t) - \Phi_{X_n}(t)| = |E[e^{itX_n}(e^{itY_n}-1)]| \leq E[|e^{itY_n}-1|]$ . En décomposant sur $\{|Y_n|\gt\alpha\}$ (où $|e^{itY_n}-1|\leq 2$ ) et $\{|Y_n|\leq\alpha\}$ , on obtient l'inégalité voulue.

2.

Soit $\varepsilon \gt 0$ . Il existe $\alpha_0 \gt 0$ tel que $|y| \leq \alpha_0 \Rightarrow |e^{ity}-1| \leq \varepsilon$ . Comme $Y_n \to 0$ , pour $n \geq n_0$ : $P(|Y_n| \gt \alpha_0) \leq \varepsilon$ . Donc $|\Phi_{X_n+Y_n}(t) - \Phi_{X_n}(t)| \leq 3\varepsilon$ . Combiné avec $|\Phi_{X_n}(t) - \Phi_X(t)| \leq \varepsilon$ , on obtient $|\Phi_{X_n+Y_n}(t) - \Phi_X(t)| \leq 4\varepsilon$ .

3.

Prendre $X$ symétrique ( $P_X = P_{-X}$ , e.g. $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ ) et poser $X_n = -X$ . Alors $X_n \to X$ en loi mais $(X_n - X)_n = -2X \not\to 0$ .

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