مسابقة دكتوراه 2012 — جامعة بجاية — الموضوع 02

Soit $f_n : [a, b] \longrightarrow \mathbb{R}$ une suite de fonctions continues, uniformément convergente vers $f$. Qu'en est-il de $(\sin(f_n))_n$ ? Proposer une généralisation pour $(g \circ f_n)_n$.

Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $(x_1, x_2) \mapsto H(x_1 - c\, x_2)$ où $H$ désigne la fonction de Heaviside et $c > 0$. Déterminer

au sens de $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^2)$.

Soit $\lambda > 0$ et $u(x) = e^{-\lambda |x|^2}$, $x \in \mathbb{R}^N$, $N \in \mathbb{N}^*$. Déterminer la transformée de Fourier de $u$.

Pour $s \in \mathbb{R}$, on considère l'espace de Sobolev $H^s(\mathbb{R}^N)$ dont la norme associée au produit scalaire est notée $\|\cdot\|_s$.

1. Montrer que $H^s(\mathbb{R}^N)$ est un espace de Hilbert et que si $s_1$ et $s_2 \in \mathbb{R}$ sont tels que $s_1 \geq s_2$ alors $H^{s_1}(\mathbb{R}^N) \subset H^{s_2}(\mathbb{R}^N)$.
2. Soit $m \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb{N}^N$, $0 < |\alpha| \leq m$, il existe $C > 0$ tel que

3. En déduire que lorsque $s = m \in \mathbb{N}$, l'espace $H^m(\mathbb{R}^N)$ coïncide avec l'espace $E = \{ u \in L^2(\mathbb{R}^N),\ D^\alpha u \in L^2(\mathbb{R}^N),\ |\alpha| \leq m \}$ et que la norme $\|u\|_m^2$ est équivalente à la norme

Les fonctions considérées ici sont supposées à valeurs réelles. Soit $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $a < b$. Soit $p, q \in L^\infty(]a, b[)$. On suppose que $q \geq 0$ et qu'il existe un réel $\alpha > 0$ tel que $p \geq \alpha$.

(i) Montrer que pour tout $f \in L^2(]a, b[)$, l'équation $-(pu')' + qu = f$ admet une solution unique $u$ dans $H_0^1(]a, b[)$ et que $u$ réalise le minimum dans $H_0^1(]a, b[)$ d'une fonctionnelle à préciser.

(ii) Montrer que l'opérateur $T : H_0^1(]a, b[) \to H_0^1(]a, b[)$, $f \mapsto u$ où $u$ est la solution de l'équation dans (i), est auto-adjoint, positif, compact et injectif.