مسابقة دكتوراه 2012 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 02

Réécriture du produit de convolution

Par définition, $(f * K_h)(x) = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} K_h(x - y) f(y)\,dy$. Le changement de variable $u = x - y$ puis $u = h v$ donne

$(f * K_h)(x) = \int_{\mathbb{R}} K_h(u) f(x - u)\,du = \int_{\mathbb{R}} K(v)\, f(x - h v)\,dv,$

en utilisant $K_h(u)\,du = \tfrac{1}{h}K(u/h)\,du = K(v)\,dv$. Comme $\int_{\mathbb{R}} K(v)\,dv = 1$, on a aussi $f(x) = \int_{\mathbb{R}} K(v) f(x)\,dv$, d'où

$(f * K_h)(x) - f(x) = \int_{\mathbb{R}} K(v)\,\big[ f(x - h v) - f(x) \big]\,dv.$

Découpage de l'intégrale

Soit $\varepsilon \gt 0$. Comme $f$ est continue en $x$, il existe $\delta \gt 0$ tel que $|u| \leq \delta \Rightarrow |f(x - u) - f(x)| \leq \varepsilon$. On sépare selon $|h v| \leq \delta$ ou $|h v| \gt \delta$ :

$\big| (f * K_h)(x) - f(x) \big| \leq \underbrace{\int_{|h v| \leq \delta} |K(v)|\,|f(x - h v) - f(x)|\,dv}_{I_1} + \underbrace{\int_{|h v| \gt \delta} |K(v)|\,|f(x - h v) - f(x)|\,dv}_{I_2}.$

Terme central $I_1$. Sur $|h v| \leq \delta$, $|f(x - h v) - f(x)| \leq \varepsilon$, donc

$I_1 \leq \varepsilon \int_{\mathbb{R}} |K(v)|\,dv = \varepsilon\, \|K\|_1.$

Terme des queues $I_2$. On majore $|f(x - h v) - f(x)| \leq |f(x - h v)| + |f(x)|$.

• La partie $|f(x)|\displaystyle\int_{|v| \gt \delta/h} |K(v)|\,dv \to 0$ quand $h \to 0$, car $K$ est intégrable et $\delta/h \to \infty$.
• Pour la partie $\displaystyle\int_{|v| \gt \delta/h} |K(v)|\,|f(x - h v)|\,dv$, on revient à $w = h v$ :

$\int_{|v| \gt \delta/h} |K(v)|\,|f(x - h v)|\,dv = \frac{1}{h}\int_{|w| \gt \delta} \left| K\!\left( \tfrac{w}{h} \right) \right| |f(x - w)|\,dw.$

En posant $\eta(h) = \sup_{|s| \geq \delta/h} |s\,K(s)| \to 0$ (hypothèse $|s K(s)| \to 0$), on a pour $|w| \gt \delta$ : $\left| K(\tfrac{w}{h}) \right| = \dfrac{h}{|w|}\left| \tfrac{w}{h} K(\tfrac{w}{h}) \right| \leq \dfrac{h}{|w|}\eta(h)$. D'où

$\frac{1}{h}\int_{|w| \gt \delta} \left| K\!\left( \tfrac{w}{h} \right) \right| |f(x - w)|\,dw \leq \eta(h)\int_{|w| \gt \delta} \frac{|f(x - w)|}{|w|}\,dw \leq \frac{\eta(h)}{\delta}\,\|f\|_1 \to 0.$

C'est ici qu'interviennent $f \in L^1$ et $|x K(x)| \to 0$. Ainsi $I_2 \to 0$ quand $h \to 0$.

Conclusion

En faisant $h \to 0$ puis $\varepsilon \to 0$ :

$\limsup_{h \to 0} \big| (f * K_h)(x) - f(x) \big| \leq \varepsilon\, \|K\|_1 \quad \forall \varepsilon \gt 0.$

$\boxed{\,\lim_{h \to 0} (f * K_h)(x) = f(x) \ \text{ en tout point de continuité } x \text{ de } f.\,}$

1. (i)

Pour $x \in [-1, 1]$, on écrit $x$ comme combinaison convexe des bornes $-1$ et $1$ :

$x = \frac{1 - x}{2}\cdot(-1) + \frac{1 + x}{2}\cdot(1), \qquad \text{avec } \frac{1 - x}{2} \geq 0,\ \frac{1 + x}{2} \geq 0,\ \frac{1 - x}{2} + \frac{1 + x}{2} = 1.$

La fonction $u \mapsto \exp(t u)$ étant convexe, l'inégalité de convexité donne

$\boxed{\,\exp(t x) \leq \frac{1 - x}{2}\exp(-t) + \frac{1 + x}{2}\exp(t).\,}$

1. (ii)

En prenant l'espérance et en utilisant $\mathbb{E}[X] = 0$ :

$\mathbb{E}[\exp(t X)] \leq \frac{1 - \mathbb{E}[X]}{2}\exp(-t) + \frac{1 + \mathbb{E}[X]}{2}\exp(t) = \frac{\exp(t) + \exp(-t)}{2} = \operatorname{ch}(t).$

De plus, par les développements en série, comme $(2k)! \geq 2^k\, k!$,

$\operatorname{ch}(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{2k}}{(2k)!} \leq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(t^2/2)^k}{k!} = \exp\!\left( \frac{t^2}{2} \right).$

$\boxed{\,\mathbb{E}[\exp(t X)] \leq \operatorname{ch}(t) \leq \exp\!\left( \frac{t^2}{2} \right).\,}$

2. (a)

Pour chaque $j$, la variable $X_j / c_j$ est centrée et bornée par $1$. En appliquant (ii) au paramètre $t c_j$ :

$\mathbb{E}[\exp(t X_j)] = \mathbb{E}\!\left[ \exp\!\left( (t c_j)\tfrac{X_j}{c_j} \right) \right] \leq \exp\!\left( \frac{(t c_j)^2}{2} \right) = \exp\!\left( \frac{t^2 c_j^2}{2} \right).$

Par indépendance des $X_j$,

$\mathbb{E}[\exp(t S_n)] = \prod_{j=1}^n \mathbb{E}[\exp(t X_j)] \leq \prod_{j=1}^n \exp\!\left( \frac{t^2 c_j^2}{2} \right) = \exp\!\left( \frac{t^2}{2}\sum_{j=1}^n c_j^2 \right).$

$\boxed{\,\mathbb{E}[\exp(t S_n)] \leq \exp\!\left( \frac{t^2}{2}\sum_{j=1}^n c_j^2 \right).\,}$

2. (b)

Pour $t \gt 0$, la fonction $u \mapsto e^{t u}$ est croissante, donc par l'inégalité de Markov appliquée à $e^{t S_n} \geq 0$ :

$P(S_n \gt \varepsilon) = P\!\left( e^{t S_n} \gt e^{t \varepsilon} \right) \leq \frac{\mathbb{E}[e^{t S_n}]}{e^{t \varepsilon}} \leq \exp\!\left( -t\varepsilon + \frac{t^2}{2}\sum_{j=1}^n c_j^2 \right).$

2. (c)

On optimise le majorant en $t \gt 0$. En posant $C = \sum_{j=1}^n c_j^2$, la fonction $\varphi(t) = -t\varepsilon + \tfrac{t^2}{2}C$ atteint son minimum en $t^* = \dfrac{\varepsilon}{C} \gt 0$, avec

$\varphi(t^*) = -\frac{\varepsilon^2}{C} + \frac{1}{2}\frac{\varepsilon^2}{C^2}C = -\frac{\varepsilon^2}{2 C}.$

$\boxed{\,P(S_n \gt \varepsilon) \leq \exp\!\left( -\frac{\varepsilon^2}{2 \sum_{j=1}^n c_j^2} \right).\,}$

2. (d)

La suite $(-X_j)$ est également centrée avec $|-X_j| \leq c_j$ ; en appliquant (c) à $-S_n = \sum_j (-X_j)$ :

$P(S_n \lt -\varepsilon) = P(-S_n \gt \varepsilon) \leq \exp\!\left( -\frac{\varepsilon^2}{2 \sum_{j=1}^n c_j^2} \right).$

En combinant les deux queues,

$P(|S_n| \gt \varepsilon) = P(S_n \gt \varepsilon) + P(S_n \lt -\varepsilon) \leq 2\exp\!\left( -\frac{\varepsilon^2}{2 \sum_{j=1}^n c_j^2} \right).$

$\boxed{\,P(|S_n| \gt \varepsilon) \leq 2\exp\!\left( -\frac{\varepsilon^2}{2 \sum_{j=1}^n c_j^2} \right).\,}$

Remarque. L'énoncé imprimé omet le facteur $2$ ; la constante correcte pour l'inégalité bilatérale est bien $2$ (somme des deux queues).