مسابقة دكتوراه 2012 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 02

1.(a) Consistance du schéma saute-mouton (leapfrog)

Par Taylor, $\dfrac{u_j^{n+1}-u_j^{n-1}}{2\Delta t}=\partial_t u+O(\Delta t^2)$ et $\dfrac{u_{j+1}^n-u_{j-1}^n}{2h}=\partial_x u+O(h^2)$. L'erreur de consistance est $\mathcal{L}=\partial_t u+c\partial_x u+O(\Delta t^2+h^2)=O(\Delta t^2+h^2).$ Schéma consistant d'ordre 2 en temps et en espace.

1.(b) Mise en œuvre

Schéma explicite à trois niveaux de temps : il faut un schéma de démarrage pour calculer le niveau $n=1$ à partir de la seule donnée initiale.

2.(a)

De $(S_1)$ : $\partial_t u=-c\,\partial_x u$, puis $\partial_{tt}u=-c\,\partial_x(\partial_t u)=c^2\,\partial_{xx}u.$

2.(b)

Taylor en temps : $u(x_j,t_{n+1})=u+\Delta t\,\partial_t u+\tfrac{\Delta t^2}{2}\partial_{tt}u+O(\Delta t^3)=u-c\Delta t\,\partial_x u+\tfrac{c^2\Delta t^2}{2}\partial_{xx}u+O(\Delta t^3).\ \checkmark$

3.(a) Erreur de consistance

En injectant la solution exacte : $\mathcal{L}=\underbrace{(\partial_t u+c\partial_x u)}_{=0}+\Big(\tfrac{\Delta t}{2}\partial_{tt}u-\mu\Delta t\,\partial_{xx}u\Big)+O(\Delta t^2+h^2).$ Avec $\partial_{tt}u=c^2\partial_{xx}u$ : $\mathcal{L}=\Delta t\Big(\tfrac{c^2}{2}-\mu\Big)\partial_{xx}u+O(\Delta t^2+h^2).$

3.(b) Ordre 2

Le terme en $\Delta t$ s'annule ssi $\boxed{\mu=\frac{c^2}{2}}\quad(\text{schéma de Lax-Wendroff, consistant d'ordre }2).$

4. Type positif

Avec $\mu=c^2/2$ et $\nu=\dfrac{c\Delta t}{h}$ (nombre de Courant), le schéma s'écrit $u_j^{n+1}=\tfrac{\nu}{2}(1+\nu)\,u_{j-1}^n+(1-\nu^2)\,u_j^n+\tfrac{\nu}{2}(\nu-1)\,u_{j+1}^n.$ Les trois coefficients sont $\ge0$ ssi $1-\nu^2\ge0$ et $\nu-1\ge0$, c'est-à-dire $\boxed{\nu=\frac{c\Delta t}{h}=1.}$ Le schéma de Lax-Wendroff n'est de type positif qu'à la limite CFL $c\Delta t=h$.

1.

Supposons $\partial_x S(\lambda_*,0)$ inversible (homéomorphisme linéaire). Comme $S(\lambda,0)=0$ au voisinage, le théorème des fonctions implicites donne un voisinage de $(\lambda_*,0)$ où l'unique solution de $S(\lambda,x)=0$ est $x=0$. Il n'y a alors aucune branche non triviale bifurquant : $(\lambda_*,0)$ n'est pas point de bifurcation — contradiction. Donc $\partial_x S(\lambda_*,0)$ n'est pas un homéomorphisme.

2.

Ici $\partial_x S(\lambda,0)=\lambda\,\mathrm{Id}-T'(0)$. Par 1), en un point de bifurcation $(\lambda_*,0)$ cet opérateur n'est pas inversible, i.e. $\boxed{\lambda_*\in\sigma(T'(0)).}$

3.

$T(x_1,x_2)=(x_1+x_2^3,\ x_2-x_1^3)$, donc $T'(0)=\mathrm{Id}$ (les termes cubiques ont une différentielle nulle en $0$), $\sigma(T'(0))=\{1\}$. L'équation $S(\lambda,u)=\lambda u-Tu=0$ s'écrit $(\lambda-1)x_1=x_2^3,\qquad (\lambda-1)x_2=-x_1^3.$ Multiplions la première par $x_2$ et la seconde par $x_1$ : $(\lambda-1)x_1x_2=x_2^4,\qquad (\lambda-1)x_1x_2=-x_1^4.$ Donc $x_1^4+x_2^4=0$, d'où $x_1=x_2=0$. L'unique solution est $u=0$ pour tout $\lambda$. Ainsi aucun $(\lambda_*,0)$ n'est point de bifurcation : $\boxed{(\lambda_*,0)\text{ n'est jamais un point de bifurcation.}}$ En particulier pour $\lambda_*=1\in\sigma(T'(0))$ : la condition nécessaire de la question 2) est satisfaite mais pas suffisante.

1. Réduction

$S'+I'+R'=0\Rightarrow S+I+R=N$ constant. On pose $R=N-S-I$ : $S'=-\beta SI+\gamma(N-S-I),\qquad I'=\beta SI-\delta I.$

2. Équilibres

$I'=0\Rightarrow I(\beta S-\delta)=0$.

• Sans maladie $I=0$ : $S'=0\Rightarrow\gamma(N-S)=0\Rightarrow S=N$. Équilibre $(N,0)$.
• Endémique $S=\delta/\beta$ : alors $I^*=\dfrac{\gamma\,(N-\delta/\beta)}{\delta+\gamma}$, existe (positif) si $N>\delta/\beta$.

3. Stabilité

Jacobienne $J=\begin{pmatrix}-\beta I-\gamma&-\beta S-\gamma\\ \beta I&\beta S-\delta\end{pmatrix}$.

• En $(N,0)$ : $J=\begin{pmatrix}-\gamma&-\beta N-\gamma\\0&\beta N-\delta\end{pmatrix}$, valeurs propres $-\gamma<0$ et $\beta N-\delta$. Stable ssi $\beta N<\delta$ ($N<\delta/\beta$) ; sinon point selle instable.
• Équilibre endémique (quand $N>\delta/\beta$) : $\mathrm{tr}\,J<0$ et $\det J>0$, donc asymptotiquement stable (foyer/nœud attractif). Portraits : pour $N<\delta/\beta$ toutes les trajectoires convergent vers $(N,0)$ ; pour $N>\delta/\beta$ elles convergent vers l'équilibre endémique.

4. Interprétation

Avec $\mathcal{R}_0=\dfrac{\beta N}{\delta}$ : si $\mathcal{R}_0<1$ la maladie disparaît (équilibre sans maladie stable) ; si $\mathcal{R}_0>1$ elle persiste (état endémique stable).

5. Instabilité de $(N,0)$

$\boxed{\beta N-\delta>0\iff N>\frac{\delta}{\beta}\iff\mathcal{R}_0=\frac{\beta N}{\delta}>1.}$ Signification : introduit dans une population entièrement saine, un petit nombre d'infectés déclenche une épidémie (la maladie envahit la population).