مسابقة دكتوراه 2012 — Université 8 Mai 1945 - Guelma — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle

Concours d'accès au doctorat 2012/2013, Université de Guelma, Épreuve d'Analyse Fonctionnelle.

التمرين 1

Exercice 1 — Polynômes de Legendre

#legendre-polynomials#orthogonal-polynomials#hilbert-space

On munit $L^2(-1,1)$ du produit scalaire usuel. Les polynômes de Legendre sont définis par la formule de Rodrigues

$P_n(x)=\dfrac{1}{2^n n!}\dfrac{d^n}{dx^n}\big[(x^2-1)^n\big].$

◀الحل

$P_0=1,\ P_1=x,\ P_2=\tfrac12(3x^2-1)$ . 2. Orthogonaux : $\int_{-1}^1 P_mP_n=0$ ( $m\ne n$ ), et $\boxed{\|P_n\|^2=\dfrac{2}{2n+1}}$ . 3. Les $P_n$ engendrent tous les polynômes, denses dans $L^2(-1,1)$ (Weierstrass) : base hilbertienne après normalisation.

Exercice 2 — Équation différentielle et distributions

#distributions#differential-equations#change-of-variable

Résoudre par le changement de variable $t=x^2$ l'équation $y''-4x^2y=0$ (au sens classique).
On note $y''-4x^2y$ l'expression associée ; étudier ses solutions.

◀الحل

Avec $t=x^2$ l'équation se ramène à $\ddot y-y=0$ , d'où $\boxed{y=A\,e^{x^2}+B\,e^{-x^2}}$ .

Exercice 3 — Distributions homogenes et valeur principale

#distributions#principal-value#homogeneous-distributions

On considère la distribution valeur principale $\operatorname{vp}\dfrac1x$ définie sur $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ par

$\left\langle \operatorname{vp}\tfrac1x,\varphi\right\rangle=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{|x|\gt\varepsilon}\dfrac{\varphi(x)}{x}\,dx.$

◀الحل

Fonctionnelle linéaire continue sur $\mathcal{D}$ (l'imparité de $1/x$ régularise la singularité). 2. $\boxed{x\,\operatorname{vp}\tfrac1x=1}$ et $\dfrac{d}{dx}\operatorname{vp}\tfrac1x=-\operatorname{Pf}\tfrac1{x^2}$ . 3. $\langle\operatorname{vp}\tfrac1x,\varphi(\cdot/\lambda)\rangle=\langle\operatorname{vp}\tfrac1x,\varphi\rangle$ montre l'homogénéité de degré $-1$ .