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مسابقة دكتوراه 2012 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 01

مسابقة تخصص · Analyse Fonctionnelle

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Concours d'accès au doctorat, Université de M'sila, Épreuve d'Analyse Fonctionnelle, 08 décembre 2012.

التمرين 1

Exercice 1 — Compacité dans les espaces de Banach

#functional-analysis#compactness#banach-spaces

Soit EE un espace de Banach.

  1. Rappeler la définition d'une partie relativement compacte.
  2. Montrer que la boule unité fermée de EE est compacte si et seulement si EE est de dimension finie (théorème de Riesz).
  3. Donner un exemple d'opérateur compact sur ℓ2\ell^2.
◀الحل
  1. Partie dont l'adhérence est compacte. 2. Théorème de Riesz : B‾(0,1) compacte  ⟺  dim⁡E<∞\boxed{\overline{B}(0,1)\ \text{compacte}\iff \dim E\lt\infty} (lemme de Riesz pour la réciproque). 3. L'opérateur diagonal Tx=(xn/n)nTx=(x_n/n)_n est compact sur ℓ2\ell^2.

التمرين 2

Exercice 2 — Équation intégrale de Fredholm

#integral-equations#fredholm#fixed-point#contraction

On considère l'équation intégrale

u(x)=f(x)+λ∫01K(x,t) u(t) dt,u(x)=f(x)+\lambda\int_0^1 K(x,t)\,u(t)\,dt,

avec KK continu sur [0,1]2[0,1]^2 et f∈C([0,1])f\in C([0,1]).

  1. Écrire l'opérateur associé et montrer qu'il est contractant pour ∣λ∣|\lambda| assez petit.
  2. En déduire existence et unicité de la solution.
◀الحل
  1. Tu=f+λ∫K(⋅,t)u(t)dtTu=f+\lambda\int K(\cdot,t)u(t)dt ; ∥Tu−Tv∥∞≤∣λ∣ ∥K∥∞ ∥u−v∥∞\|Tu-Tv\|_\infty\le|\lambda|\,\|K\|_\infty\,\|u-v\|_\infty, contractant si ∣λ∣ ∥K∥∞<1|\lambda|\,\|K\|_\infty\lt1. 2. Point fixe de Banach : solution unique dans C([0,1])\boxed{\text{solution unique dans }C([0,1])}.

التمرين 3

Exercice 3 — Décomposition de Littlewood-Paley

#harmonic-analysis#littlewood-paley#fourier-transform#besov-spaces

Rappeler la construction de la décomposition de Littlewood-Paley (partition dyadique de l'unité en fréquence) et énoncer la caractérisation des espaces de Sobolev HsH^s (ou de Besov) par les blocs dyadiques Δj\Delta_j.

◀الحل

On choisit φ\varphi supportée sur une couronne, Δju=F−1(φ(2−jξ)u^)\Delta_j u=\mathcal{F}^{-1}(\varphi(2^{-j}\xi)\hat u), avec ∑jΔj=Id\sum_j\Delta_j=\mathrm{Id} (plus basse fréquence). Alors ∥u∥Hs2≃∑j22js∥Δju∥L22\boxed{\|u\|_{H^s}^2\simeq\sum_j 2^{2js}\|\Delta_j u\|_{L^2}^2} (et de même pour Bp,qsB^s_{p,q}).

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