مسابقة دكتوراه 2016 — جامعة بجاية — الموضوع 01

On considère deux variables aléatoires indépendantes $X_1$, $X_2$ exponentielles de paramètres respectifs $\lambda_1$, $\lambda_2$. Soit $Y = \min(X_1, X_2)$.

1. Déterminer la loi de $Y$.
2. Montrer que

3. Deux guichets sont ouverts à une banque : le temps de service du premier (respectivement second) guichet suit une loi exponentielle de moyenne 20 (respectivement 30) minutes. Deux clients $A$ et $B$ se présentent à la banque. Le client $A$ choisit le guichet 1, le client $B$ le 2. Quelle est la probabilité que $A$ sorte le premier ?
4. En moyenne combien de temps faut-il pour que les deux soient sortis ? Indication : le max de deux nombres, c'est la somme moins le min.

1. Soit $T$ une variable aléatoire géométrique de paramètre $p \in ]0, 1[$ de loi de probabilité

Déterminer l'espérance mathématique de $T$. 2. Un enfant collectionne des images. Son album comporte $N$ images. Chaque jour, il achète une tablette de chocolat dans laquelle il y a une image. Soit $X_n$ le nombre d'images distinctes dont dispose l'enfant au soir du jour $n$, avec la convention $X_0 = 0$. Donner la matrice et le graphe de transition de $(X_n)_{n \geq 1}$. Classifier les états de cette chaîne. 3. Pour $i \in \{1, 2, \ldots, N\}$, soit $T_i$ la variable aléatoire définie par

que signifie concrètement $T_i$ ? Et $(T_{i+1} - T_i)$ ? Donner la loi de probabilité de $(T_{i+1} - T_i)$, i.e. déterminer $\forall k \in \mathbb{N}^*$, $\mathbb{P}(T_{i+1} - T_i = k)$. 4. En déduire $\mathbb{E}(T_{i+1} - T_i)$ puis $\mathbb{E}(T_N)$ et enfin un équivalent de $\mathbb{E}(T_N)$. (Rappel : $1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{N} \sim \ln N$). Interpréter. Déterminer approximativement le nombre de tablettes de chocolats qu'il devra manger s'il veut compléter son album de 100 images ? 5. Application : On lance un dé à 6 faces jusqu'à ce qu'on ait vu les six chiffres sortir. Combien en moyenne va-t-il falloir lancer le dé ?

Un signal $X(t)$ ne peut prendre que les deux valeurs 0 et 1. Les instants auxquels il change de valeurs correspondent à un processus de Poisson de paramètre $\lambda$. Calculer $P(X(t) = 1)$ si la valeur initiale du signal est égale à 1.

Une entreprise compte $K$ machines. Chacune des machines tombe en panne à un taux exponentiel $\mu$. Quand une machine tombe en panne, elle le demeure pendant un temps aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. De plus, les machines sont indépendantes les unes des autres. Soit $X(t)$ le nombre de machines qui fonctionnent à l'instant $t$. On peut montrer que le processus $\{X(t), t \geq 0\}$ est un processus de naissance et de mort.

1. Déterminer les taux de naissance et de mort du processus $\{X(t), t \geq 0\}$. Donner le graphe des transitions.
2. Déterminer la distribution stationnaire du processus $\{X(t), t \geq 0\}$.