مسابقة دكتوراه 2022 — جامعة بجاية — الموضوع 02

Exercice n° 1. (09 points)

Rappel : Théorème du point fixe de Schauder : Soit $D$ un sous-ensemble non vide, fermé, borné et convexe d'un espace de Banach $X$. Supposons que $F : D \to D$ est une application continue et compacte. Alors $F$ admet au moins un point fixe dans $D$.

On considère le problème aux limites non linéaire :

$$(\mathcal{P}) \begin{cases} -y''(x) + k^2 y(x) = f(x, y(x), y'(x)), & 0 < x < 1 \\ y(0) = 0,\ y(1) = 0, \end{cases}$$

où $k$ est une constante réelle et $f : [0,1] \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ est une fonction continue.

On définit sur l'espace de Banach $X = C^1([0,1], \mathbb{R})$ muni de la norme

$$\|y\|_X = \max\left( \sup_{x \in [0,1]} |y(x)|,\ \sup_{x \in [0,1]} |y'(x)| \right),$$

l'application $T$ par :

$$(Ty)(x) = \int_0^1 G(x,t) f(t, y(t), y'(t))\, dt, \quad x \in [0,1],$$

où

$$G(x,t) = \frac{1}{k\, sh(k)} \begin{cases} sh(kx)\, sh(k(1-t)), & \text{si } 0 \le x \le t \le 1; \\ sh(kt)\, sh(k(1-x)), & \text{si } 0 \le t \le x \le 1, \end{cases}$$

est la fonction de Green associée au problème $(\mathcal{P})$. $\left( sh(a) = \dfrac{e^a - e^{-a}}{2},\ a \in \mathbb{R} \right)$.

1. Quelle relation y a-t-il entre l'application $T$ et le problème $(\mathcal{P})$ ? Justifier votre réponse.
2. Montrer que l'application $T$ est continue et compacte sur $X$.
3. Montrer qu'il existe deux nombres réels positifs $M_1$ et $M_2$ vérifiant (a) $|G(x,t)| \le M_1,\ \forall (x,t) \in [0,1]^2$, (b) $\left| \dfrac{\partial G}{\partial x}(x,t) \right| \le M_2,\ \forall (x,t) \in [0,1]^2$.
4. Soit la fonction $\phi$ définie par :

$$\phi(x) = x - \alpha x^p - \beta x^q, \quad x \in [0, +\infty[,$$

où $\alpha, \beta \in \mathbb{R}_+^*$ et $p, q \in\, ]0, 1[$. Montrer que $\forall \gamma \in\, ]0, +\infty[,\ \exists x_0 \in\, ]0, +\infty[$ tel que $\phi(x_0) \ge \gamma$. 5. Supposons que la fonction $f$ vérifie la condition de croissance polynomiale suivante : $(\mathcal{H})$ : Il existe $p, q \in\, ]0, 1[$ tels que

$$|f(x, u, v)| \le k_1 |u|^p + k_2 |v|^q + k_3, \quad \forall (x, u, v) \in [0,1] \times \mathbb{R}^2,$$

où $k_1, k_2, k_3$ sont des constantes positives. Montrer qu'il existe $R > 0$ tel que $T$ envoie la boule fermée $B(0, R) = \{ y \in X,\ \|y\|_X \le R \}$ dans elle-même. 6. En déduire que le problème $(\mathcal{P})$ admet au moins une solution bornée $y \in C^2([a,b], \mathbb{R})$.

Exercice n° 2. (05 points)

Soit $f \in L^2(]a, b[)$. On considère le problème suivant :

$$(P_1) \begin{cases} -(\alpha u')'(x) = f(x), & x \in\, ]a, b[, \\ u(a) = u(b) = 0, \end{cases}$$

où la fonction $\alpha : [a, b] \to \mathbb{R}$ est d'une part minorée sur $[a, b]$ par un réel $\alpha_0$ strictement positif et d'autre part majorée sur $[a, b]$ par un réel $\alpha_1$.

1. Donner une formulation variationnelle du problème $(P_1)$.
2. Montrer, en utilisant le théorème de Lax-Milgram, qu'il existe une unique solution faible de $(P_1)$ dans $H_0^1(]a, b[)$.

Exercice n° 3. (06 points)

Soit $([0,1], f)$ un système dynamique tel que pour tous $a, b \in [0,1]$ tels que $a < b$ il existe un entier $n \in \mathbb{N}$ tel que $f^n([a,b]) = [0,1]$.

1. Soit $\varepsilon > 0$ et soit $x \in [0,1]$ montrer qu'il existe des points $y_0, y_1 \in [0,1]$ et un entier $n \ge 0$ tels que $|x - y_0| < \varepsilon$, $|x - y_1| < \varepsilon$, $f^n(y_0) = 0$ et $f^n(y_1) = 1$.
2. Montrer que $f$ est sensible aux conditions initiales.