مسابقة دكتوراه 2016 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Probabilités & Statistiques · المدة: 2سا

Concours LMD 3ème cycle, Processus Stochastiques, Université de Béjaïa, 30 janvier 2016, durée 2h.

التمرين 1

Minimum de deux exponentielles

#exponential-distribution#queueing

Pour deux exponentielles indépendantes, déterminer la loi du minimum, la probabilité que la première soit minimale et le temps moyen du maximum; appliquer à des moyennes 20 et 30 minutes.

◀الحل

Le minimum est exponentiel de paramètre $\lambda_1+\lambda_2$ et $P(X_1<X_2)=\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)$ . Avec les moyennes 20 et 30, cela vaut $3/5$ . Comme $\max=X_1+X_2-\min$ , son espérance vaut $20+30-12=38$ minutes.

التمرين 2

Collection de coupons et chaîne de Markov

#coupon-collector#markov-chain#geometric-distribution

Étudier le nombre $X_n$ d'images distinctes obtenues parmi $N$ images équiprobables et le temps $T_N$ pour compléter l'album.

◀الحل

Depuis $i$ , $P(i,i)=i/N$ et $P(i,i+1)=(N-i)/N$ ; $N$ est absorbant. $T_{i+1}-T_i$ est géométrique de paramètre $(N-i)/N$ , donc $E(T_N)=NH_N\sim N\log N$ . Pour $N=100$ , environ $519$ achats; pour six faces, $6H_6=14.7$ lancers.

التمرين 3

Signal télégraphique et processus de Poisson

#poisson-process#telegraph-process

Un signal initialement égal à $1$ alterne entre $0$ et $1$ aux sauts d'un Poisson de taux $\lambda$ . Calculer $P(X(t)=1)$ .

◀الحل

Le signal vaut $1$ si $N_t$ est pair. Or $P(N_t\text{ pair})=\frac12(1+E[(-1)^{N_t}])=\frac12(1+e^{-2\lambda t})$ .

التمرين 4

Naissance et mort d'un parc de machines

#birth-death-process#stationary-distribution#reliability

Pour $K$ machines tombant en panne à taux $\mu$ et réparées à taux $\lambda$ , étudier le nombre de machines actives.

◀الحل

Dans l'état $i$ , le taux de naissance est $(K-i)\lambda$ et le taux de mort $i\mu$ . La balance détaillée donne $\pi_i=\binom Ki p^i(1-p)^{K-i}$ , $p=\lambda/(\lambda+\mu)$ .

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