مسابقة دكتوراه 2016 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 02

Trouver la solution générale des équations aux dérivées partielles suivantes :

$$u_{xx}-2\sin x\,u_{xy}-\cos^2x\,u_{yy}-\cos x\,u_y=0,$$

et

$$x^2u_{xx}-2xy\,u_{xy}+y^2u_{yy}+xu_x+yu_y=0, \qquad x>0.$$

En utilisant les coordonnées polaires et la méthode de séparation de variables de Fourier, déterminer la solution formelle du problème de Dirichlet

$$\begin{cases} u_{xx}+u_{yy}=0,&x^2+y^2<6,\\ u(x,y)=y^2+y,&x^2+y^2=6. \end{cases}$$

On considère l'équation des ondes amortie par un feedback frontière $g(u_t)$ :

$$\begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=0,&x\in(0,1),\ t>0,\\ u(0,t)=0,&t>0,\\ u_x(1,t)=-g(u_t(1,t)),&t>0,\\ (u(x,0),u_t(x,0))=(u_0(x),u_1(x)),&x\in(0,1). \end{cases}$$

On définit l'énergie

$$E(t)=\frac12\int_0^1\bigl(u_t^2(x,t)+u_x^2(x,t)\bigr)\,dx.$$

On suppose $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continue, croissante, et que sur un voisinage $[-s_0,s_0]$ de $0$,

$$g(s)=s|s|^{p-1},\qquad p>1.$$

Soit $A_0\ne0$ et soit $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par

$$A_{n+1}+A_n=-g(A_{n+1}-A_n).$$

1. Montrer que $(A_n^2)$ est décroissante et en déduire que $A_n\to0$.
2. Étudier la décroissance asymptotique de l'énergie $E(t)$ lorsque $t\to+\infty$.