مسابقة دكتوراه 2017 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 02

مسابقة تخصص · Recherche Opérationnelle · المدة: 1سا 30د

Concours d’entrée au Doctorat, Mathématiques appliquées, épreuve Modélisation et Techniques de Décision, Université de Béjaïa, Faculté des Sciences Exactes, Département de Recherche Opérationnelle, 28 octobre 2017, durée 1h30.

التمرين 1

Exercice 1 — Loi de puissance discrète et estimation

#probability-distributions#maximum-likelihood#estimation

Soit $0\lt\theta\lt1$ et

p(x;\theta)=K_\theta\frac{\theta^x}{x}, \qquad x\in\mathbb{N}^*.

Déterminer $K_\theta$ .
Calculer $\mathbb{E}(X)$ et $\operatorname{Var}(X)$ .
Pour un échantillon indépendant $X_1,\ldots,X_n$ , déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance de $\theta$ .

◀الحل

1.

\boxed{K_\theta=-\frac1{\ln(1-\theta)}}

2.

\boxed{\mathbb{E}(X)=\frac{-\theta}{(1-\theta)\ln(1-\theta)}}

La variance découle de $\mathbb{E}(X^2)=K_\theta\theta/(1-\theta)^2$ .

3.

L’EMV est l’unique solution de

\boxed{\frac{\overline X}{\theta}+\frac1{(1-\theta)\ln(1-\theta)}=0}.

التمرين 2

Exercice 2 — Rupture de câbles et chaîne de Markov

#markov-chains#reliability#recurrence

Des câbles identiques subissent des tractions successives. La probabilité de rupture sous la traction $n$ est $p_n$ , avec $p_0=0$ et $p_n\to1$ .

Montrer que $(X_n)$ est une chaîne de Markov homogène et écrire sa matrice.
Classifier les états.
Étudier le comportement asymptotique.
Si $Y$ est la traction maximale avant rupture, déterminer sa loi.
Calculer les probabilités de premier retour en $0$ et montrer que $0$ est récurrent.

◀الحل

1.

Depuis $i$ , la chaîne passe à $i+1$ avec $1-p_{i+1}$ et revient à $0$ avec $p_{i+1}$ .

2.

La probabilité d’atteindre $n$ sans rupture est

\prod_{j=1}^{n}(1-p_j).

Elle tend vers $0$ , donc la rupture survient presque sûrement.

\boxed{\mathbb{P}_0(T_0^+\lt+\infty)=1}

3.

\boxed{\mathbb{P}(Y=n)=p_{n+1}\prod_{j=1}^{n}(1-p_j)}

التمرين 3

Exercice 3 — Jeu père-fils à information asymétrique

#game-theory#zero-sum-games#mixed-strategies

Le père choisit secrètement $0$ , $1$ ou $2$ jetons. Les gains dépendent d’un paramètre $t\ge0$ .

Construire le jeu matriciel.
Déterminer les stratégies dominantes des deux joueurs.
Calculer les valeurs inférieure et supérieure.
Déterminer les stratégies de sécurité.
Discuter l’existence d’un point-selle.
Pour $t=1$ , résoudre le jeu en stratégies mixtes.
Reprendre lorsque le père joue en premier et révèle son choix.

◀الحل

1.

Après construction de la matrice, on élimine les stratégies dominées.

2.

\underline V=\max_i\min_j a_{ij}, \qquad \overline V=\min_j\max_i a_{ij}.

Un point-selle existe si $\underline V=\overline V$ .

3.

Pour une matrice réduite $2\times2$ , les probabilités mixtes s’obtiennent par les conditions d’indifférence. Le jeu séquentiel se résout par induction à rebours.

التمرين 4

Exercice 4 — Chaînes de Markov finies

#markov-chains#stationary-distribution#matrix-powers

Pour

P=\begin{pmatrix}\frac12&\frac12&0\\\frac14&\frac12&\frac14\\0&\frac12&\frac12\end{pmatrix},

la chaîne part de $0$ . a. Calculer la probabilité que les trois prochains jours soient ensoleillés. b. Calculer la probabilité que dimanche prochain soit ensoleillé. 2. Pour

P=\begin{pmatrix}\frac14&\frac34&0\\0&1&0\\\frac12&0&\frac12\end{pmatrix},

a. Déterminer les classes et leur type. b. Diagonaliser $P$ . c. Calculer $P^n$ . d. Déterminer les distributions stationnaires.

◀الحل

1.

\boxed{\mathbb{P}(X_1=X_2=X_3=0)=\frac18}

2.

L’état $1$ est absorbant et les états $0$ et $2$ sont transitoires.

P^n\longrightarrow\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&0\\0&1&0\end{pmatrix}.

\boxed{\pi=(0,1,0)}

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