مسابقة دكتوراه 2012 — Université Abderrahmane Mira - Béjaïa — الموضوع 02

Soit $f_n : [a,b] \to \mathbb{R}$ une suite de fonctions continues, uniformément convergente vers $f$. Qu'en est-il de $(\sin(f_n))_n$ ? Proposer une généralisation pour $(g \circ f_n)_n$.

Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $(x_1, x_2) \mapsto H(x_1 - cx_2)$ où $H$ désigne la fonction de Heaviside et $c > 0$. Déterminer $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} - c^2 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}$ au sens de $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^2)$.

Soit $\lambda > 0$ et $u(x) = e^{-\lambda|x|^2}$, $x \in \mathbb{R}^N$, $N \in \mathbb{N}^*$. Déterminer la transformée de Fourier de $u$.

Pour $s \in \mathbb{R}$, on considère l'espace de Sobolev $H^s(\mathbb{R}^N)$ dont la norme associée au produit scalaire est notée $\|\cdot\|_s$.

1. Montrer que $H^s(\mathbb{R}^N)$ est un espace de Hilbert et que si $s_1$ et $s_2 \in \mathbb{R}$ sont tels que $s_1 \ge s_2$ alors $H^{s_1}(\mathbb{R}^N) \subset H^{s_2}(\mathbb{R}^N)$.

2. Soit $m \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb{N}^N$, $0 < |\alpha| \le m$, il existe $C > 0$ tel que $\forall \xi \in \mathbb{R}^N : \prod_{j=1}^N |\xi_j|^{2\alpha_j} \le (1 + |\xi|^2)^m \le C\left(1 + \sum_{0 < |\alpha| \le m} \prod_{j=1}^N |\xi_j|^{2\alpha_j}\right)$.

3. En déduire que lorsque $s = m \in \mathbb{N}$, l'espace $H^m(\mathbb{R}^N)$ coïncide avec l'espace $E = \{u \in L^2(\mathbb{R}^N),\, D^\alpha u \in L^2(\mathbb{R}^N),\, |\alpha| \le m\}$ et que la norme $\|u\|_m^2$ est équivalente à la norme $|u|_m^2 = \sum_{|\alpha| \le m} \|D^\alpha u\|_{L^2(\mathbb{R}^N)}^2$.

Les fonctions considérées ici sont supposées à valeurs réelles. Soit $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $a < b$. Soit $p, q \in L^\infty(]a,b[)$. On suppose que $q \ge 0$ et qu'il existe un réel $\alpha > 0$ tel que $p \ge \alpha$.

(i) Montrer que pour tout $f \in L^2(]a,b[)$, l'équation $-(pu')' + qu = f$ admet une solution unique $u$ dans $H_0^1(]a,b[)$ et que $u$ réalise le minimum dans $H_0^1(]a,b[)$ d'une fonctionnelle à préciser.

(ii) Montrer que l'opérateur $T : H_0^1(]a,b[) \to H_0^1(]a,b[)$, $f \mapsto u$ où $u$ est la solution de l'équation dans (i), est auto-adjoint, positif, compact et injectif.

Remarque: $f = g.\delta_0$ p.p. si et seulement si $f(0) = g(0)$.