مسابقة دكتوراه 2020 — Université Abou Bekr Belkaïd

التمرين 1

Exercice 1 — Problème de Neumann et équation des ondes

#neumann-problem#wave-equation#dalembert-formula#pde

A. Soit le problème suivant

(\mathcal{N}) \begin{cases} -\Delta u = f & \text{dans } \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial \eta} = 0 & \text{sur } \partial\Omega \end{cases}

où $\eta$ est la normale unitaire extérieure à $\partial\Omega$ , et $f$ une fonction continue sur $\Omega$ .

(3 pts) Supposons que le problème $(\mathcal{N})$ admet une solution $u$ , celle-ci est-elle unique ?
(3 pts) Montrer que le problème $(\mathcal{N})$ admet au moins une solution si $\int_\Omega f(x)\,dx = 0$ .

(2 pts) En se servant de la formule de D'Alembert, résoudre le problème suivant :

(\mathcal{P}) \begin{cases} v_{tt}(x,t) = c^2 v_{xx}(x,t), & x \in \mathbb{R},\; t \gt 0 \\ v(x,0) = e^x,\; v_t(x,0) = 0, & x \in \mathbb{R} \end{cases}

Soit $u$ la solution du problème suivant :

(\mathcal{W}) \begin{cases} u_{tt}(x,t) = c^2 u_{xx}(x,t), & x \in \mathbb{R},\; t \gt 0 \\ u(x,0) = 0,\; u_t(x,0) = h(x), & x \in \mathbb{R} \end{cases}

où $h$ est une fonction continue et $c \gt 0$ . a. (1 pt) Montrer que la fonction $v = u_t$ est solution du problème $(\mathcal{S})$ : $v_{tt} = c^2 v_{xx}$ , $v(x,0) = h(x)$ , $v_t(x,0) = 0$ . b. (1 pt) En déduire la solution $u$ du problème $(\mathcal{W})$ pour $h(x) = e^x$ .

◀الحل

A.1.

La solution n'est PAS unique. Si $u$ est solution, alors $u + C$ (constante) est aussi solution car $\Delta(u+C) = \Delta u$ et $\frac{\partial(u+C)}{\partial\eta} = \frac{\partial u}{\partial\eta} = 0$ . L'unicité est à une constante additive près.

\boxed{\text{Non, la solution est unique à une constante près}}

A.2.

Condition nécessaire : en intégrant $-\Delta u = f$ sur $\Omega$ et en utilisant le théorème de la divergence : $-\int_\Omega \Delta u\,dx = \int_\Omega f\,dx$ , soit $-\int_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial\eta}\,d\sigma = \int_\Omega f\,dx$ . Avec la condition de Neumann : $\int_\Omega f\,dx = 0$ . Cette condition est aussi suffisante (par le théorème de Fredholm).

\boxed{\text{Existence si } \int_\Omega f(x)\,dx = 0}

B.1.

Par la formule de D'Alembert avec $g(x) = e^x$ et $h(x) = 0$ :

v(x,t) = \frac{e^{x+ct} + e^{x-ct}}{2} = e^x \cosh(ct)

\boxed{v(x,t) = e^x \cosh(ct)}

B.2.a.

On dérive $(\mathcal{W})$ par rapport à $t$ : $v_{tt} = u_{ttt} = c^2 u_{xxt} = c^2 v_{xx}$ . De plus $v(x,0) = u_t(x,0) = h(x)$ et $v_t(x,0) = u_{tt}(x,0) = c^2 u_{xx}(x,0) = 0$ .

B.2.b.

Par D'Alembert : $v(x,t) = u_t(x,t) = \frac{e^{x+ct}+e^{x-ct}}{2}$ . En intégrant en $t$ : $u(x,t) = \frac{e^{x+ct}}{2c} - \frac{e^{x-ct}}{2c} + \phi(x)$ . Avec $u(x,0) = 0$ : $\phi(x) = 0$ .

\boxed{u(x,t) = \frac{e^x \sinh(ct)}{c}}

التمرين 2

Exercice 3 — Modèle de densité de population (réaction-diffusion)

#reaction-diffusion#population-dynamics#neumann-boundary#pde

Considérons une densité de population modélisée par

\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + u(2-u), & t \gt 0,\; x \in (0,l) \\ u_x(t,0) = u_x(t,l) = 0, & t \geq 0 \\ u(0,x) = u_0, & x \in (0,l) \end{cases}

où $u_0$ est une constante telle que $0 \lt u_0 \lt 2$ .

(2 pts) En quelques phrases, donner une interprétation de ce modèle.
(2 pts) Que signifie biologiquement la condition au bord utilisée dans ce modèle.
(2 pts) Calculer explicitement la solution de ce problème.

◀الحل

1.

Le terme $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ modélise la diffusion spatiale de la population. Le terme $u(2-u)$ est un terme de croissance logistique avec capacité de charge $K=2$ . La population croît quand $u \lt 2$ et décroît quand $u \gt 2$ .

2.

Les conditions de Neumann homogènes $u_x(t,0) = u_x(t,l) = 0$ signifient qu'il n'y a pas de flux de population aux frontières du domaine : la population ne peut ni entrer ni sortir (frontières imperméables).

3.

Comme la condition initiale $u_0$ est constante et les conditions aux limites sont de Neumann homogènes, la solution est indépendante de $x$ : $u(t,x) = u(t)$ . L'EDP se réduit à l'EDO $u'(t) = u(2-u)$ . C'est une équation logistique. En séparant les variables :

u(t) = \frac{2u_0}{u_0 + (2-u_0)e^{-2t}}

\boxed{u(t,x) = \frac{2u_0}{u_0 + (2-u_0)e^{-2t}}}