مسابقة دكتوراه 2018 — جامعة أبو بكر بلقايد - تلمسان — الموضوع 01

Soit le problème :

$$(P) \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}, & x \in (0, 1),\ t > 0, \\ u(0, t) = 1, \quad u(1, t) = 0, & t > 0, \\ u(x, 0) = 0, & x \in [0, 1]. \end{cases}$$

1) Déterminer une fonction $u_0(x)$ indépendante de $t$ solution du problème $(P)$.

2) On pose $v(x, t) = u(x, t) - u_0(x)$.

Montrer que $v(x, t)$ est solution du problème auxiliaire suivant :

$$(\bar{P}) \begin{cases} \dfrac{\partial v}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}, & x \in (0, 1),\ t > 0, \\ v(0, t) = 0, \quad v(1, t) = 0, & t > 0, \\ v(x, 0) = x - 1, & x \in [0, 1]. \end{cases}$$

3) Par la méthode de séparation de variables, trouver la solution du problème $(\bar{P})$ et en déduire $u(x, t)$ solution de $(P)$.

Soit le système suivant

$$(P) \begin{cases} x' = ax - y - x(x^2 + y^2) \\ y' = x + ay - y(x^2 + y^2) \end{cases}$$

où $a > 0$.

1) Linéariser le système $(P)$ au voisinage de $(0, 0)$. Conclure.

2) Déterminer la nature du point d'équilibre $(0, 0)$ en utilisant une fonction de Lyapounov.

3) Montrer l'existence d'un cycle limite.