مسابقة دكتوراه 2019 — جامعة أحمد دراية - أدرار — الموضوع 01

On considère le problème suivant :

$$\begin{cases} y'(t) - \lambda y(t) = f(t, y(t)), & \text{p.p. } t \in J = [0, b], \\ y(0) = y_0, \end{cases} \qquad (1)$$

où $\lambda \in \mathbb{R}^*$ et $f : J \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une fonction $L^1$-Carathéodory. Soit $E = C([0, b], \mathbb{R})$ l'espace des fonctions continues muni de la norme

$$\|y\| = \sup \{ |y(t)| : t \in [0, b] \}.$$

1. Montrer que le problème $(1)$ s'écrit de la manière équivalente suivante :

$$y(t) = N y(t) = \int_0^t G(t, s) f(s, y(s))\,ds, \quad t \in [0, b], \qquad (2)$$

où $G$ est une fonction de Green à déterminer et $N$ un opérateur défini sur $E$.

2. Montrer que $N$ est continu et compact.

3. Supposons que $f$ vérifie la condition suivante :

$$|f(t, y)| \le \psi(|y|), \quad \forall (t, y) \in [0, b] \times \mathbb{R}, \qquad (3)$$

où $\psi : [0, +\infty[ \to ]0, +\infty[$ est une fonction continue et croissante, et

$$\exists M > 0 : \ b \left( \sup_{(t,s) \in [0,b] \times [0,b]} |G(t, s)| \right) \psi(M) \le M.$$

Soit

$$U = \{ y \in E : |y(t)| \le M, \ \forall t \in [0, b] \}.$$

Montrer que $N(U) \subset U$.

4. Montrer que le problème $(1)$ admet au moins une solution $y \in E$.

Soit $E = C([0, 1], \mathbb{R})$ l'espace des fonctions continues muni de la norme-convergence uniforme

$$\|f\|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)|.$$

1. On considère une suite de Cauchy $(f_n)_{n \ge 1}$ dans $E$.

a) Montrer que pour chaque $x \in [0, 1]$, $(f_n(x))_{n \ge 1}$ est une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$.

b) En déduire qu'il existe une limite $f(x)$ telle que $f_n(x) \longrightarrow f(x)$ quand $n \to +\infty$.

c) Montrer que l'application $f \in E$. En déduire que $E$ est un Banach.

2. Soit $k : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Pour chaque $f \in E$, on définit

$$\phi_f(x) = \int_0^x k(x, t) f(t)\,dt.$$

Justifier la propriété suivante :

$$\forall \delta > 0,\ \exists \alpha(\delta) > 0 \ \text{tel que} \ |k(x, t) - k(x_0, t)| \le \delta, \quad \forall x, x_0 \in [0, 1] \ \text{et} \ \forall t \in [0, 1] \ \text{si} \ |x - x_0| \le \alpha(\delta).$$

En déduire que $\phi_f \in E$.

3. Soit $K$ un opérateur défini par $K : f \longmapsto K(f) = \phi_f$.

Vérifier que $\|K(f)\|_\infty \le M \|f\|_\infty$, tel que $M = \sup_{[0,1] \times [0,1]} |k(x, y)|$.

En déduire que $K \in \mathcal{L}(E)$.

4. On suppose dans ce qui suit $0 < M < 1$.

a) Montrer que la série :

$$I - K + K^2 - K^3 + \cdots + (-1)^n K^n + \cdots$$

est convergente dans $\mathcal{L}(E)$ muni de la norme

$$\|H\| = \sup_{f \in E \setminus \{0\}} \frac{\|H(f)\|_\infty}{\|f\|_\infty}, \quad H \in \mathcal{L}(E).$$

b) Soit $S$ la somme $S = \sum_{j=0}^{+\infty} (-1)^j K^j$. Vérifier que $S(I + K) = (I + K)S = I$ et en déduire que $(I + K)$ est inversible.