مسابقة دكتوراه 2019 — جامعة أحمد دراية - أدرار — الموضوع 01

I. Soit l'application

$$T : C_c^\infty(\mathbb{R}^2) \to \mathbb{R}, \qquad \varphi \longmapsto \int_{\mathbb{R}^2} x y^2 \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right) \varphi(x, y)\,dx\,dy.$$

1. Montrer que $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^2)$.

2. En effectuant le changement de coordonnées polaires, donner une expression exacte de $T$.

II. Soient $a, b \in \mathbb{C}$ et $L$ un opérateur différentiel sur $\mathbb{R}$ défini par

$$L = \frac{d^2}{dx^2} + a \frac{d}{dx} + b.$$

On suppose que $f_1$ et $f_2$ sont deux solutions $C^2$ dans $\mathbb{R}$ de l'équation $Lf = 0$ avec

$$\begin{cases} f_1(0) - f_2(0) = 0, \\ f_2'(0) - f_1'(0) = 1, \end{cases}$$

et soit $T_g$ la distribution définie par la fonction continue

$$g(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \le 0, \\ f_2(x), & x > 0. \end{cases}$$

Déterminer $L\,T_g$.

III. Soit $f \in C^1([a, b])$ et $c \in \mathbb{R}_+^*$ :

1. En intégrant par parties, calculer la limite

$$\lim_{c \to +\infty} \int_a^b f(x) \cos(cx)\,dx.$$

2. Soit $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite régulière associée à la suite de fonctions

$$f_n(x) = 2 \sin^2(nx), \quad n \in \mathbb{N}.$$

Démontrer que $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ vers une limite constante que l'on déterminera.

Soit $a$ un réel donné non nul. Rappelons qu'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est périodique de période $a$ si $\tau_a f = f$, où $\tau_a(f)(x) = f(x - a)$, $\forall x \in \mathbb{R}$. La définition de distribution périodique s'introduit naturellement : une distribution $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$ est dite périodique de période $a$ si $\tau_a T = T$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$. On admet que toute fonction de $L^1_{loc}(\mathbb{R})$, la dérivée $T'$ d'une distribution $T$ et la multiplication $\psi T$ d'une distribution $T$ par une fonction $\psi$ indéfiniment dérivable définissent des distributions.

1. Montrer que si $f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$, on a $\tau_a(T_f) = T_{\tau_a f}$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ (Justifier).

2. Soit $f, g \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$, l'égalité $T_f \cdot T_g = T_{fg}$ est-elle bien définie dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ ? (Justifier).

3. Montrer que si $f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ est périodique de période $a$, la distribution $T_f$ est aussi périodique de même période.

4. Montrer que la dérivée d'une distribution périodique est périodique de même période.

5. Montrer que si $\psi \in C^\infty$ et $T \in \mathcal{D}'$ sont périodiques de même période $a$, le produit $\psi T$ est aussi périodique de même période.

6. La somme de deux distributions périodiques est-elle périodique ? (Justifier).

Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ et $1 \le p < \infty$. On veut montrer qu'il existe une application linéaire continue $P : W^{1,p}(I) \to W^{1,p}(\mathbb{R})$ telle que $(Pu)|_I = u$, pour tout élément $u$ de l'espace de Sobolev $W^{1,p}(I)$. Par des changements de variable affines, il suffit de le faire dans les cas $I = ]0, +\infty[$ et $I = ]0, 1[$.

1. En prenant $I = ]0, +\infty[$, montrer que si l'on pose, pour $u \in W^{1,p}(I)$ :

$$\tilde{u}(x) = \begin{cases} u(x), & \text{si } x \ge 0, \\ u(-x), & \text{si } x < 0, \end{cases}$$

alors $\tilde{u} \in W^{1,p}(\mathbb{R})$ et $\|\tilde{u}\|_{W^{1,p}(\mathbb{R})} \le 2 \|u\|_{W^{1,p}(I)}$.

2. On prend maintenant $I = ]0, 1[$, et on fixe une fonction $\eta \in C^1(\mathbb{R})$ telle que $0 \le \eta \le 1$, $\eta(x) = 1$ si $x < 1/4$ et $\eta(x) = 0$ si $x > 3/4$. Pour $u \in W^{1,p}(]0, 1[)$ on pose

$$\tilde{u}(x) = \begin{cases} u(x), & \text{si } 0 < x < 1, \\ 0, & \text{si } x \ge 1. \end{cases}$$

2.1. Montrer que $\eta\tilde{u} \in W^{1,p}(]0, +\infty[)$ et qu'il existe une constante $C > 0$, ne dépendant que de $\eta$, telle que

$$\|\eta\tilde{u}\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}_+^*)} \le C \|u\|_{W^{1,p}(]0,1[)}.$$

2.2. Montrer que l'on peut prolonger de même $(1 - \eta)u$ à $W^{1,p}(]-\infty, 1[)$, puis à $W^{1,p}(\mathbb{R})$ (faire le changement de variable $t = 1 - x$).

2.3. Conclure.