مسابقة دكتوراه 2019 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 01

Soient $(X, d)$ un espace métrique complet, $f : X \to X$ une application continue et $g : X \to \mathbb{R}^+$ une application. On suppose que :

$$\forall x \in X : d(x, f(x)) \le g(x) - g(f(x)).$$

1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x \in X$ on a

$$d(f^n(x), f^{n+1}(x)) \le g(f^n(x)) - g(f^{n+1}(x))$$

où $f^k = f \circ f \circ \cdots \circ f$ ($k$ fois). En déduire que la suite $(g(f^n(x)))_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente dans $\mathbb{R}^+$ pour tout $x \in X$.

2. Montrer que pour tout $x \in X$ la suite $(f^n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy dans l'espace $X$.

3. En déduire que pour tout $x \in X$ la suite $(f^n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite $z \in X$. Montrer que l'élément $z$ est un point fixe de l'application $f$.

1. Soient $(E, \|\cdot\|)$ un espace de Banach et $T : E \to E$ un opérateur borné tel que $\|T\|_{\mathcal{L}(E)} < 1$. Montrer que $(I - T)$ est inversible dans $\mathcal{L}(E)$, de plus

$$(I - T)^{-1} = \sum_{n \ge 0} T^n.$$

2. Soit $E = C([0, 1], \mathbb{R})$ muni de la norme $\|\cdot\|_\infty$ et pour $f \in E$, on définit

$$A f(x) = \int_0^x K(x, t) f(t)\,dt,$$

où $K(\cdot, \cdot) \in C([0, 1] \times [0, 1])$. Soit $M = \sup_{0 \le x, t \le 1} |K(x, t)|$.

(a) Montrer que $A \in \mathcal{L}(E)$.

(b) Montrer que pour $n \ge 1$, on a $|A^n f(x)| \le \dfrac{M^n}{n!} x^n \|f\|_\infty$.

(c) En déduire que pour $n \ge 1$, $\|A^n\| \le \dfrac{M^n}{n!}$.

(d) Calculer le rayon spectral de $A$. En déduire le spectre de $A$. (On rappelle que $e^a = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{a^k}{k!} \ge \dfrac{a^n}{n!}$.)