مسابقة دكتوراه 2019 — Université Badji Mokhtar - Annaba — الموضوع 01

On considère une fonction $\varphi \in \mathcal{D}$, de support $[a, b]$.

1) Montrer que les intégrales :

$$I_n = \int_a^b \sin nx \cdot \varphi(x)\,dx, \qquad J_n = \int_a^b \cos nx \cdot \varphi(x)\,dx$$

tendent vers $0$ quand $n \to \infty$.

2) En déduire que la distribution $\dfrac{\sin nx}{\pi x}$ converge vers la distribution $\delta$ de Dirac.

(Indication : $\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t}\,dt = \pi$).

A) Étant donné une fonction $f$, continue, à dérivée continue, définie sur un intervalle $[a, b]$, tel que $0 \in [a, b]$, on considère l'équation

$$g(x) - \lambda \int_0^x g(t)\,dt = f(x) \qquad \ldots\ldots (A)$$

où $g$ est une fonction inconnue continûment dérivable et $\lambda$ un réel donné non nul.

1) Montrer que $g$ vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre que l'on intégrera.

2) En déduire que l'équation $(A)$ admet une solution unique donnée par :

$$g(x) = f(x) + \lambda \int_0^x e^{\lambda(x - t)} f(t)\,dt.$$

B) 1) Déduire des résultats précédents que l'équation

$$g(x) - \lambda \int_0^x e^{\mu(x - t)} g(t)\,dt = f(x) \qquad \ldots\ldots (B)$$

où $\lambda$, $f$ et $g$ vérifient les conditions données au paragraphe A, et $\mu$ un réel donné non nul, admet une solution unique, que l'on calculera.

2) Calculer la solution dans le cas $f(x) = e^{\mu x}$.