مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohammed Seddik Benyahia - Jijel — الموضوع 01

Soit $f$ une fonction convexe sur un intervalle réel $I$, et soient trois points de $I$, $a, b, c$ tels que $a < b < c$. Montrer que le déterminant de la matrice

$$\begin{pmatrix} 1 & a & f(a) \\ 1 & b & f(b) \\ 1 & c & f(c) \end{pmatrix}$$

est positif ou nul.

(a) Soit $E$ un espace vectoriel et $A \subset E$. On dit que $A$ est un cône si $\forall x \in A$, $\forall \lambda \ge 0$ : $\lambda x \in A$. Montrer que $A$ est un cône convexe si et seulement si

$$\forall x, y \in A, \forall \lambda \ge 0 : \ \lambda x \in A \ \text{et} \ x + y \in A.$$

(b) Si $A$ est une partie convexe de $E$ tel que $0 \in A$. Montrer que

$$0 < \alpha \le \beta \ \Rightarrow \ \alpha A \subset \beta A.$$

(c) On dit qu'une partie $A$ d'un espace vectoriel est équilibrée si

$$\forall x \in A, \forall \alpha, |\alpha| \le 1 : \ \alpha x \in A.$$

Montrer que si $A$ est équilibrée, alors son enveloppe convexe $co(A)$ est aussi équilibrée.

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $f : E \to \mathbb{R}$ ; la dérivée directionnelle de $f$ au point $x_0 \in E$ dans la direction $u \in E$ est donnée par

$$f'(x_0; u) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{f(x_0 + \varepsilon u) - f(x_0)}{\varepsilon}.$$

(a) Montrer que si $f$ est une fonction convexe, alors $f'(x_0; u)$ existe $\forall x_0 \in dom(f)$, $\forall u \in E$.

Indication : on peut utiliser la fonction $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\varepsilon \longmapsto h(\varepsilon) = f(x_0 + \varepsilon u)$ ; montrer d'abord que si $h$ est convexe, elle admet alors une dérivée à droite en $0$.

(b) Montrer que la fonction $g : E \to \mathbb{R}$ définie par $g(u) = f'(x_0; u)$ est convexe et positivement homogène ($g(\lambda u) = \lambda g(u)$, $\forall \lambda \ge 0$).