مسابقة دكتوراه 2019 — Université Mohamed Boudiaf - M'Sila — الموضوع 01

1. Soient $E, F, G$ trois espaces vectoriels, $f : E \longrightarrow F$ et $g : F \longrightarrow G$ deux applications linéaires. Prouver que : $g \circ f = 0$ si et seulement si $\operatorname{Im} f \subseteq \operatorname{Ker} g$.

2. Expliquer pourquoi les deux colonnes de la matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ forment une base de $\mathbb{R}^2$ si et seulement si le déterminant $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \ne 0$.

3. Soient $f_1, f_2 \in L(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$ (formes linéaires de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$) définis par $f_1(x, y) = x + y$ et $f_2(x, y) = x - y$.

a) Montrer que la famille $(f_1, f_2)$ forme une base de $L(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$.

b) Exprimer les formes linéaires $g(x, y) = x$ et $h(x, y) = 2x - 6y$ dans la base $(f_1, f_2)$.

Soit $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. On introduit les ensembles

$$A = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) > 0 \}, \qquad B = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) \ge 0 \},$$ $$C = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : y > f(x) \} \quad \text{et} \quad D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : y \ge f(x) \}.$$

1. Démontrer que $A$ est ouvert et $B$ est fermé.

2. Démontrer que $C$ est ouvert et $D$ est fermé.

3. Comparer, au sens de l'inclusion, $A$ avec $\mathring{B}$ et $\overline{A}$ avec $B$. Chercher des contre-exemples pour les inclusions fausses.

Soit $f \in C^2([0,1])$. Le but est de calculer une approximation $u : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}$ du problème suivant

$$(\mathcal{P}) \begin{cases} -u''(x) + \dfrac{1}{x+1}\,u'(x) = f(x), & x \in [0,1], \\ u(0) = a, \\ u(1) = b. \end{cases}$$

On admet que ce problème admet une et une seule solution $u \in C^4([0,1])$. On cherche une solution approchée de $(\mathcal{P})$ par la méthode des différences finies. Soit $N \in \mathbb{N}^*$, on pose $h = \dfrac{1}{N+1}$. On note $u_i$ la valeur approchée de $u$ au point $x_i$ pour $i = 1, \ldots, N$. On utilise les approximations centrées de $u'(x)$ et $u''(x)$ aux points $x_i$. On pose $u_h = (u_1, u_2, \ldots, u_n)^T$.

1. Montrer que $u_h$ est solution d'un système linéaire de la forme $A_h u_h = b_h$ où $A_h \in \mathcal{M}(\mathbb{R})$ et $b_h \in \mathbb{R}^n$ sont à déterminer.

2. Montrer que le schéma numérique obtenu est consistant, donner une majoration de l'erreur de consistance ($u \in C^4(]0,1[)$).