مسابقة دكتوراه 2025 — Université Ahmed Zabana de Relizane

التمرين 1

Exercice 1 (Relizane 2025) — $(f_n)$ dans $C([0,1])$ : Cauchy $L^1$ non complet, distances non équivalentes

#$L^1$#distance uniforme#complétude#équivalence topologique

Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$ l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$ , et soit $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $f_n(x)=\begin{cases}3nx&\text{si }0\le x\le \dfrac{1}{3n}\\ 1&\text{si }\dfrac{1}{3n}<x\le 1.\end{cases}$

Montrer que pour tout $x\in[0,1]$ , $(f_n)$ converge vers une fonction $f$ à déterminer.

Soit les distances $d_1(f,g)=\int_0^1|f-g|dx$ et $d_\infty(f,g)=\max_{[0,1]}|f-g|$ .

Montrer que $(f_n)$ est de Cauchy dans $(E,d_1)$ et converge vers $f$ dans $(E,d_1)$ . En déduire que $(E,d_1)$ n'est pas complet.
Calculer $\lim d_1(f_n,f)$ .
Les deux distances sont-elles topologiquement équivalentes ?

$C([0,1])$ complet pour $d_\infty$ , incomplet pour $d_1$ ; complété = $L^1([0,1])$ .

◀الحل

Pour $x>0$ : $n$ grand $\Rightarrow 1/(3n)<x\Rightarrow f_n(x)=1$ . Pour $x=0$ : $f_n(0)=0$ . Limite $f=\mathbf{1}_{]0,1]}$ , non continue, $f\notin E$ .
$d_1(f_n,f)=\int_0^{1/(3n)}|3nx-1|dx=\int_0^{1/(3n)}(1-3nx)dx = \dfrac{1}{3n}-\dfrac{1}{6n} = \dfrac{1}{6n}\to 0$ . Donc $(f_n)$ CV vers $f$ dans $L^1$ . Cauchy dans $(E,d_1)$ mais limite hors $E$ : non complet.
$\lim d_1(f_n,f)=0$ .
Non. $d_1\le d_\infty$ mais réciproque fausse. Prendre $g_n=\sqrt n\cdot n(1-nx)^+$ ... plus simple : $h_n=\sqrt n\,\mathbf{1}_{[0,1/n]}$ lissé. Alors $d_\infty(h_n,0)=\sqrt n\to\infty$ mais $d_1(h_n,0)=1/\sqrt n\to 0$ .