مسابقة دكتوراه 2025 — Université Djilali Liabès - Sidi Bel Abbès — الموضوع 03

مسابقة عامة · الرياضيات · المدة: 1سا 30د

Faculté des Sciences Exactes, Département de Mathématiques, Concours d'entrée en Doctorat 3ème Cycle 2024/2025, Spécialité Mathématiques Appliquées, Sujet N°3 (Épreuve de spécialité), Durée 1h30

التمرين 1

Exercice 1 (Sidi Bel Abbès 2025 spécialité, 4 pts) — Formule $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx$

#intégration#changement de variable#symétrie

Montrer que pour toute fonction continue $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ on a : $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx. \quad (2\text{ pts})$
En déduire une expression plus simple de l'intégrale : $I=\int_0^{\pi/2}\dfrac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x}dx,\quad n\in\mathbb{N}^*. \quad (2\text{ pts})$

Astuce classique. La symétrie $x\mapsto\pi/2-x$ échange $\sin$ et $\cos$ ; l'ajout des deux formes fait disparaître la dépendance en $n$ .

◀الحل

Changement de variable $u=a+b-x$ , $du=-dx$ . Quand $x=a$ , $u=b$ ; quand $x=b$ , $u=a$ . Donc $\int_a^b f(a+b-x)dx = \int_b^a f(u)(-du) = \int_a^b f(u)du = \int_a^b f(x)dx.$
Appliquer avec $a=0$ , $b=\pi/2$ , $a+b-x=\pi/2-x$ . Or $\sin(\pi/2-x)=\cos x$ et $\cos(\pi/2-x)=\sin x$ , donc $I=\int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos^n x}{\cos^n x+\sin^n x}dx.$

Ajoutant les deux expressions : $2I = \int_0^{\pi/2}\dfrac{\sin^n x+\cos^n x}{\sin^n x+\cos^n x}dx = \int_0^{\pi/2}dx = \dfrac{\pi}{2}$ .

Donc $\boxed{I=\dfrac{\pi}{4}}$ (indépendant de $n$ ).

التمرين 2

Exercice 2 (Sidi Bel Abbès 2025 spécialité, 6 pts) — Rotation $R_\theta$ dans $\mathbb{R}^2$ : diagonalisation dans $\mathbb{C}$

#matrice de rotation#diagonalisation complexe#valeurs propres complexes

On considère l'endomorphisme $R_\theta$ de $\mathbb{R}^2$ dont la matrice dans la base canonique est : $R_\theta = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},\quad \theta\in]0,\pi[.$

Montrer que $R_\theta$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que $R_\theta$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ , et donner ses valeurs propres et une base de vecteurs propres.
En déduire $R_\theta^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Une rotation d'angle $\theta\ne 0,\pi$ n'a pas de valeur propre réelle (géométriquement : aucune direction n'est invariante), mais devient diagonale sur $\mathbb{C}$ avec valeurs propres $e^{\pm i\theta}$ ; c'est le lien profond entre rotations planes et exponentielle complexe.

◀الحل

Polynôme caractéristique : $\chi(\lambda) = \lambda^2 - 2\cos\theta\,\lambda + 1$ . Discriminant $\Delta = 4\cos^2\theta-4 = -4\sin^2\theta<0$ pour $\theta\in]0,\pi[$ . Pas de racine réelle, donc $R_\theta$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ (ni même trigonalisable, puisqu'aucune valeur propre réelle).
Sur $\mathbb{C}$ : racines $\lambda_{1,2} = \cos\theta\pm i\sin\theta = e^{\pm i\theta}$ . Deux valeurs propres distinctes $\Rightarrow$ diagonalisable sur $\mathbb{C}$ .

Vecteurs propres : pour $\lambda_1=e^{i\theta}$ : $(R_\theta-\lambda_1 I)v=0 \Rightarrow$ résoudre $(\cos\theta-e^{i\theta})v_1 - \sin\theta\, v_2=0 \Rightarrow -i\sin\theta\, v_1 = \sin\theta\, v_2 \Rightarrow v_2=-iv_1$ . Vecteur propre $v_1=(1,-i)$ .

Pour $\lambda_2=e^{-i\theta}$ : de même $v_2=(1,i)$ .

Base de vecteurs propres : $\{(1,-i),(1,i)\}$ , et $R_\theta = P\,\mathrm{diag}(e^{i\theta},e^{-i\theta})\,P^{-1}$ avec $P=\begin{pmatrix}1&1\\-i&i\end{pmatrix}$ .

$R_\theta^n = P\,\mathrm{diag}(e^{in\theta},e^{-in\theta})\,P^{-1}$ . Or on sait géométriquement que $R_\theta^n=R_{n\theta}$ , donc $R_\theta^n = \begin{pmatrix}\cos(n\theta) & -\sin(n\theta)\\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta)\end{pmatrix}.$

التمرين 3

Exercice 3 (Sidi Bel Abbès 2025 spécialité, 10 pts) — Convergence de la série $S_n=\sum 1/k$ et série entière associée

#série harmonique#série entière#rayon de convergence#équivalent asymptotique

Pour $n\ge 1$ , on pose $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$ .

Montrer que $S_n\underset{n\to\infty}{\sim}\ln n$ .
On considère la série entière $\displaystyle\sum_{n\ge 1} S_n x^n$ . Déterminer son rayon de convergence $R$ .
Calculer la somme $f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge 1}S_n x^n$ pour $x\in]-R,R[$ , $x\ne 0$ .
Étudier la convergence de la série en $x=R$ et $x=-R$ .

$f(x)=\dfrac{-\ln(1-x)}{1-x}$ est une identité classique liant les nombres harmoniques à la fonction génératrice du logarithme ; utile en combinatoire analytique. Aux deux bornes du disque, la série diverge car $S_n\to+\infty$ .

◀الحل

Comparaison série-intégrale : $\displaystyle\int_1^{n+1}\dfrac{dt}{t}\le S_n\le 1+\int_1^n\dfrac{dt}{t}$ , i.e. $\ln(n+1)\le S_n\le 1+\ln n$ . Donc $S_n/\ln n\to 1$ , $S_n\sim\ln n$ .
$S_n\sim\ln n$ , donc par la règle de d'Alembert / racine : $\lim (S_n)^{1/n} = 1$ (car $\ln n$ croit sous-exponentiellement). Le rayon de convergence de $\sum S_n x^n$ est le même que celui de $\sum x^n$ , soit $R=1$ .
Utiliser $S_n = \sum_{k=1}^n \dfrac1k$ , donc en écrivant $\sum_n S_n x^n$ comme produit de Cauchy : $\displaystyle\sum_{n\ge1}S_nx^n = \Big(\sum_{n\ge1}\dfrac{x^n}{n}\Big)\Big(\sum_{m\ge0}x^m\Big) = \dfrac{-\ln(1-x)}{1-x}$ pour $|x|<1$ , $x\ne 0$ (produit de Cauchy de deux séries entières convergentes, valable sur le disque commun de convergence).

Donc $\boxed{f(x) = \dfrac{-\ln(1-x)}{1-x}}$ .

En $x=1$ : $S_n\sim\ln n\to\infty\ne 0$ , donc le terme général ne tend pas vers $0$ : série divergente (grossièrement).

En $x=-1$ : $\sum S_n(-1)^n$ . Terme général $S_n(-1)^n$ ne tend pas vers $0$ (car $S_n\to\infty$ ), donc série divergente également (grossièrement divergente).

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