مسابقة دكتوراه 2023 — Université Amar Telidji - Laghouat — الموضوع 03

Soit l'intégrale suivante, $I = \displaystyle\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 x^3 e^{-x} \, dx$.

1. Donner une approximation de cette intégrale en appliquant la méthode des trapèzes (quadrature composite). Subdivisez l'intervalle $[0, 1]$ en 4 sous-intervalles de longueurs égales. On donne le tableau suivant :

$$\begin{array}{c|ccccc} x_i & 0 & 0.25 & 0.5 & 0.75 & 1 \\ \hline y_i = f(x_i) & 0 & 0.0122 & 0.0758 & 0.1993 & 0.3679 \end{array}$$

2. Soit $I(n) = \displaystyle\int_0^1 x^n e^{-x} \, dx$. Avec cette formulation, l'intégrale dont on cherche l'approximation est $I(3)$. On se propose de calculer cette intégrale par une méthode analytique itérative. Trouver une relation de récurrence entre $I(n)$ et $I(n-1)$, avec $n > 0$; puis déduire $I(3)$.

3. On désire calculer la solution approchée en $x = 1$ de l'équation différentielle suivante :

$$e^x y' - x^3 y = 0, \quad \ldots (1)$$

sous la condition initiale $y(0) = 1$. Donner le schéma de la méthode d'Euler pour calculer $y(1)$ en prenant un pas d'intégration $h = 1/4$.

4. Trouver la solution analytique exacte de l'équation différentielle (1).

Soient $A_1$, $A_2$, $B_1$ et $B_2$ des matrices réelles d'ordre $n$ inversibles et $a$, $b$ deux vecteurs de $\mathbb{R}^n$.

I) On considère les deux itérations suivantes :

$$\begin{cases} B_1 x_{k+1} = A_2 y_k + a \\ A_1 y_{k+1} = B_2 x_k + b \end{cases}, \quad k = 0, 1, \ldots \tag{1}$$

avec $x_0, y_0 \in \mathbb{R}^n$ donnés.

1) Déterminer une condition nécessaire et suffisante de convergence des deux suites de vecteurs $(x_k)$ et $(y_k)$.

2) Soit $z_k = \begin{pmatrix} x_k \\ y_k \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2n}$. Montrer que (1) peut s'écrire

$$z_{k+1} = C_1 z_k + \delta_1,$$

et préciser la matrice $C_1$ et le vecteur $\delta_1$.

3) Montrer que $\rho(C_1) = \sqrt{\rho(BA)}$.

II) On considère maintenant les deux itérations suivantes :

$$\begin{cases} B_1 x_{k+1} = A_2 y_k + a \\ A_1 y_{k+1} = B_2 x_{k+1} + b \end{cases}, \quad k = 0, 1, \ldots \tag{2}$$

avec $x_0, y_0 \in \mathbb{R}^n$ donnés.

1) Donner une condition nécessaire et suffisante de convergence.

2) Soit $z_k = \begin{pmatrix} x_k \\ y_k \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2n}$. Montrer que (2) est équivalent

$$z_{k+1} = C_2 z_k + \delta_2,$$

et préciser la matrice $C_2$ et le vecteur $\delta_2$.

3) Montrer que $\rho(C_2) = \rho(AB)$.

III) Comparer les vitesses de convergence des algorithmes (1) et (2).